Интегралы

Nico · Сообщение **Nico** » 29 май 2007, 21:29

Пожалуйста помогите c интегралами... Заранее благодарен...

1)
$\int_{ }^{ }{\frac {Sin^5(x)} {Cos^4(x)}dx}$

2)
$\int_{0}^{2\pi}{Cos^8(x)dx}$

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 29 май 2007, 21:46

Nico писал(а):Source of the post
Пожалуйста помогите c интегралами... Заранее благодарен...

1)
$\int_{ }^{ }{\frac {Sin^5(x)} {Cos^4(x)}dx}$

2)
$\int_{0}^{2\pi}{Cos^8(x)dx}$

По первому интегралу:
$\int \frac{\sin^5 x}{\cos^4 x} dx = - \int \frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} d(\cos x)$
Дальше заменяете синусы на косинусы $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ и т.д.

По второму интегралу - понижаете степень косинуса по формуле
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

bot · Сообщение **bot** » 01 июн 2007, 11:33

AV_77 писал(а):Source of the post
По второму интегралу - понижаете степень косинуса по формуле
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Альтернативный вариант - c помощью интегрирования по частям получить рекуррентную формулу.
$I_n = \int_0^{2\pi} \cos^n dx = \int _0^{2\pi}\cos^{n-1} x d \sin x = \cos^{n-1} x \sin x \left|_0^{2\pi} + (n-1)\int _0^{2\pi}\cos^{n-2} x \sin^2 x d x =$
$= (n-1)\int _0^{2\pi}(1-\sin^2 x)\cos^{n-2} x d x = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$ ,
то есть $I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$ , откуда $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$ .

B частности, $I_8 = \frac{7}{8}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \frac{35\pi}{64}$

yourdomain.com