Интеграл не могу решить

LMZ · Сообщение **LMZ** » 27 фев 2007, 17:39

как из такого
$\int_{-L}^{L}{\frac{dy}{\sqrt{r^2 + (y-z)^2}}}$
получить такое (честно пытался решить, но не понимаю откуда лн там появляется):
$ln{\frac{z-L + \sqrt{r^2 + (L-z)^2}}{z+L\sqrt{r^2 + (L-z)^2}}}$

Klondike · Сообщение **Klondike** » 27 фев 2007, 18:50

Если ты еще не решил могу поделиться своим решением

LMZ · Сообщение **LMZ** » 27 фев 2007, 19:30

делись конечно!

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 27 фев 2007, 21:37

Имеем:

$\int_{-L}^{L}{\frac{dy}{\sqrt{r^2 + (y-z)^2}}} = \int_{-L}^{L} \frac{d(\frac{y-x}{r})}{\sqrt{1 + (\frac{y-z}{r})^2)}} =\\ = \ln \left| \frac{y-z}{r} + \sqrt{1 + (\frac{y-z}{r})^2}\right|_{-L}^{L} = \ln \frac{L-z + \sqrt{r^2 + (L-z)^2)}}{-(L+z) + \sqrt{r^2 + (L+z)^2)}}.$

Данный пример основан на известном интеграле

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} = \ln \left| x + \sqrt{1 + x^2} \right| + C.$

yourdomain.com