Предел функции двух переменных

12d3 · Сообщение **12d3** » 25 июн 2015, 13:59

Mihail-Nor писал(а):Source of the post Хотелось бы как-то оценить сверху эту функцию на произвольной окружности. Не понятно, как это можно сделать.

Условный экстремум, метод множителей Лагранжа.

12d3 · Сообщение **12d3** » 25 июн 2015, 14:01

Mihail-Nor писал(а):Source of the post Поиск точного максимума (приравнивание производной к нулю) приводит к очень сложному уравнению

Трудоемкость вычислений обычно сопутствует топорности метода.)

Mihail-Nor · Сообщение **Mihail-Nor** » 25 июн 2015, 14:12

Не понятно, как аналитически решать получающуюся систему уравнений метода Лагранжа.

12d3 · Сообщение **12d3** » 25 июн 2015, 14:27

И действительно, чет непонятно, что с ней делать.

Ian · Сообщение **Ian** » 25 июн 2015, 18:03

Тут на графиках x/R обозначено как х
Максимум дроби стремится к 0 с ростом R, но уж очень медленно, примерно как lnR
Пробовал разные a и b, так всегда
Надо использовать то, что порядок роста знаменателя, при R большом, больше чем числителя.Например, такая лемма.
$\frac{A}{B}\leq k,\;\frac{C}{D}\leq s\Rightarrow \frac{A+C}{B+D}\leq \max(k,s)$
Ну и значит, дробь не больше $\max(x^{a-1},y^{b-1})$ , эта оценка не стремится к 0 только если х или у вообще не стремятся к бесконечности. Но если одно из них ограничено, то дробь оценить еще проще.
Можно увеличить строгость этого рассуждения. a,b фиксированы. Для каждого R найдем точку максимума дроби на окружности x®,y®-в 1м квадранте ищем, должна быть одна. Она должна бы непрерывно зависеть от R. получаем кривую, удаляющуюся от 0, по которой дробь только и нужно смотреть.И вот тут уже можно говорить, стремится ли к бесконечности х отдельно или нет.Вряд ли х на этой кривой бесконечно колеблется. Но это все еще не строго
Гельдер - просто подобрать не удается.Там же огрублять можно некоторые слагаемые, а также есть неравенства для степенных средних.Зато когда подберется, выйдет решение в одну строчку

Mihail-Nor · Сообщение **Mihail-Nor** » 26 июн 2015, 01:44

Да, при $x \ne 0$ и $y \ne 0$ есть оценка
$\frac{x^{2 a}+y^{2 b}}{x^{a+1}+y^{b+1}} \le \max(x^{a-1},y^{b-1})$
но нужны ещё другие оценки, если x или y близки к $$0$$

. Если из таких трёх оценок удастся склеить одну, стремящуюся к нулю при $x^2+y^2 \to +\infty$ , то утверждение будет доказано. Пока такие оценки получить не удаётся.

Ian писал(а):Source of the post Для каждого R найдем точку максимума дроби на окружности

Вот график координат этой точки. Но, к сожалению, их строго оценить не получается.

Ian писал(а):Source of the post Зато когда подберется, выйдет решение в одну строчку

Если вообще что-то подберётся. Не понятно же, как и что подбирать, чтобы исходную дробь оценить так, чтобы можно было сделать вывод о стремлении к нулю.

Ian · Сообщение **Ian** » 28 июн 2015, 09:16

Mihail-Nor писал(а):Source of the post Да, при $x \ne 0$ и $y \ne 0$ есть оценка
$\frac{x^{2 a}+y^{2 b}}{x^{a+1}+y^{b+1}} \le \max(x^{a-1},y^{b-1})$
но нужны ещё другие оценки, если x или y близки к . Если из таких трёх оценок удастся склеить одну, стремящуюся к нулю при $x^2+y^2 \to +\infty$ , то утверждение будет доказано. Пока такие оценки получить не удаётся.

Вы знаете, это не самое сложное, что есть в матане. В теории асимптотических рядов такой прием в каждой теореме.
Пусть для определенности $0<a\geq b<1$ Подберем порог вида $x^{\alpha }\geq y$
1) Если пороговое неравенство выполняется, то х стремится к бесконечности при R стремящемся к бесконечности.
$f(x,y)<\frac{x^{2a}+x^{2\alpha b}}{x^{a+1}}\to 0$ тогда и только тогда, когда ${2\alpha b}<{a+1}$
2)Если выполняется неравенство. противоположное пороговому, то у стремится к бесконечности при R стремящемся к бесконечности.
$f(x,y)<\frac{y^{2a/\alpha}+y^{2 b}}{y^{b+1}}\to 0$ тогда и только тогда, когда ${\alpha (b+1)}>2a$
Значит, достаточно взять $\frac{2a}{b+1}<{\alpha}<\frac{a+1}{2b}$ , этот интервал непуст по предположению, что a ,b между 0 и 1

Mihail-Nor · Сообщение **Mihail-Nor** » 29 июн 2015, 07:45

Вот это работает, утверждение доказано.
Причём для этого рассуждения даже не требуется предположение $a \ge b$ .
Спасибо!

yourdomain.com