Ряд Фурье для ф-ии Sin^2(x)

Аватар пользователя
Roto
Сообщений: 179
Зарегистрирован: 05 окт 2006, 21:00

Ряд Фурье для ф-ии Sin^2(x)

Сообщение Roto » 22 окт 2014, 10:00

Здравствуйте! Задача имеет физическую подоплеку. Я произвожу измерения эффекта который пропорционален квадрату напряженности электрического поля. Прикладываю синусоидальный сигнал к кристаллу $$E=E_0{}*Sin(\omega t)$$. Образец при этом реагирует следующим образом:$$A(E)=k*E^2$$,  то есть  $$A(t)=k*E_0^2*Sin^2(\omega t)$$, где $$k$$ - некоторый коэффициент пропорциональности. Логично предположить, что частота измеряемого эффекта A при этом будет в два раза больше чем частота прикладываемого электрического поля E, потому как квадрат синуса равен 1, когда синус равен -1. Поэтому я и произвожу измерения на второй гармонике, то есть ловлю сигнал с образца с частотой $$2\omega$$. Однако $$Sin^2\left ( \omega t \right )$$ это не то же самое что и $$Sin(2\omega t)$$. Вопрос мой заключался в следующем: даже если основной вес сигнала и лежит на второй гармонике, а нет ли других более высоких гармоник в которые бьет $$Sin^2(x)$$? Если так, то получается что я произвожу некорректные, или, если сказать точнее, неполные измерения.
Для того чтобы оценить насколько сильно влияют гармоники высшего порядка я и решил разложить $$Sin^2\left ( \omega t \right )$$ в ряд Фурье, чтобы оценить насколько весомы будут коэффициенты после $$2\omega$$.
Но у меня ничего не получилось, давно я уже матаном не занимался. Воспользовался для начала онлайн калькулятором http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/ryad/fure/http://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/ryad/fure/ , но он завис на вопрос о разложении sin^2(x) или sin(x)*sin(x). Тогда взялся за бумагу и ручку.
Функция $$Sin^2\left ( \omega t \right )$$ является четной, поэтому ее можно раскладывать только по косинусам:
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }a_nCos(nx)$$
$$a_0{}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi }f(x) dx$$
$$a_n{}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi }f(x)Cos(nx) dx$$
В результате я получил:
$$a_0=1$$
$$a_n=-\frac{Sin(\pi(2-n))}{2\pi(2-n)}-\frac{Sin(\pi(2+n))}{2\pi(2+n)}$$
Второй член $$a_n$$ зануляется при любых значениях $$n$$, а первый зануляется при всех $$n$$, кроме $$n=2$$. А именно:
$$a_2=-\frac{1}{2\pi }\frac{Sin(0)}{0}$$, это какой-то там замечательный предел, на сколько я помню, поэтому $$a_2=-\frac{1}{2\pi }$$
 
В итоге я получил простую тригонометрическую формулу:
$$Sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi}Cos(2x)$$, только откуда-то во втором слагаемом у меня появилось лишнее $$\pi$$ в знаменателе. Должно быть видимо так:
$$Sin^2(x)=\frac{1-Cos(2x)}{2}$$.
  • Все выглядит очень правдоподобно, но неужели действительно $$Sin^2\left ( \omega t \right )$$ при разложении не порождает никаких дополнительных гармоник кроме $$Cos(2\omega t)$$?
  • И еще подскажите где ошибка, которая привела к появлению лишнего $$\pi$$ в знаменателе$$Sin^2(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\pi}Cos(2x)$$
     
Последний раз редактировалось Roto 27 ноя 2019, 20:32, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

12d3
Сообщений: 3347
Зарегистрирован: 02 янв 2009, 21:00

Ряд Фурье для ф-ии Sin^2(x)

Сообщение 12d3 » 22 окт 2014, 10:15

[quote=Roto в t118972 (deleted)]a_2=-\frac{1}{2\pi }\frac{Sin(0)}{0}, это какой-то там замечательный предел, на сколько я помню, поэтому a_2=-\frac{1}{2\pi }[/quote] У вас в замечательном пределе под синусом и в знаменателе должно быть одно и тоже: $$a_2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(\pi(2-n))}{\pi(2-n)}$$. Поэтому получится $$\frac{1}{2}$$.
Последний раз редактировалось 12d3 27 ноя 2019, 20:32, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test

Аватар пользователя
Roto
Сообщений: 179
Зарегистрирован: 05 окт 2006, 21:00

Ряд Фурье для ф-ии Sin^2(x)

Сообщение Roto » 23 окт 2014, 06:54

Да, действительно Спасибо!
Последний раз редактировалось Roto 27 ноя 2019, 20:32, всего редактировалось 1 раз.
Причина: test


Вернуться в «Математический анализ»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 11 гостей