И снова ряд Тейлора - полная энергия

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 16 окт 2014, 18:32

Есть функция:
$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Надо разложить ее в ряд Тейлора при v_0=0. Получается:
$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=1-\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}^{3}}\cdot (-\frac{2v}{c^2})\cdot v$
Если вычислять производную при заданном v_0=0, то получается, что все выражение обращается в ноль, и остается только единица. То же самое происходит и с остальными членами, высшего порядка. Что я сделал неправильно? Ведь так не может быть - этот прием использовался для получения полной энергии релятивистской частицы, а там выражение-то известно, и я не понимаю, каким образом оно получается.
P.S. Не знал точно, в какой раздел поместить тему - вроде как физика, но вопрос чисто математического характера.

M9ICO · Сообщение **M9ICO** » 16 окт 2014, 19:08

Так что не так-то? Исходная функция тоже равна единице при v=0.

12d3 · Сообщение **12d3** » 16 окт 2014, 19:39

Давайте по порядку. Пока не подставляйте ноль, просто посчитайте первую и вторую производную.

zam2 · Сообщение **zam2** » 16 окт 2014, 19:41

Слишком рано вы остановились.
$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=1+\frac{1}{2}\left ( \frac{v}{c} \right )^2+\frac{3}{8}\left ( \frac{v}{c} \right )^4+\frac{5}{16}\left ( \frac{v}{c} \right )^6+O\left ( v^8 \right )$
По-моему, так. Вам нужно было вычислить следующий член ряда - там коэффициент при $$v^2$$

уже не ноль (и так для всех четных членов)..

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 17 окт 2014, 08:43

zam2, ну для той формулы энергии хватало только двух первых членов, т.е. единицы и первой производной - все именно так, как у вас вышло, но я до сих пор не могу понять, как такое могло получиться.
Если у вас осталось $\frac{v^2}{c^2}$ , это значит, что в подкоренное выражение вы подставили ноль, а в $\frac{2v}{c^2}$ - нет, и затем это "неподставленное" умножили на v. Но как так можно? Ведь это единая производная, состоящая из двух множителей - производная по степени и производная подкоренного выражения, и если подставлять ноль, то его нужно подставлять и там, и там, и вот именно тогда все выражение превращается в ноль. И что абсолютно непостижимо для меня, так это то, что осталась 2-ка в знаменателе. Каким образом? Ведь всё то же выражение $\frac{2v}{c^2}$ , даже если принять, что в эту часть мы не вставляем ноль, и оно остается нетронутым, то двойка-то там исчезает и сокращается она за счет другой двойки в знаменателе.
Я в полной растерянности - вроде как теорию рядов и нахождение производных знаю, и казалось, что знаю довольно неплохо, а сейчас такое ощущение, что я чего-то фундаментального не понимаю, отсюда и берутся все проблемы с этим заданием.

zam2 · Сообщение **zam2** » 17 окт 2014, 09:25

Ряд Тейлора (и даже Маклорена):
$\\f(v)=\frac{1}{0!}f(0)+\frac{1}{1!}{f}'(0)v+\frac{1}{2!}{f}''(0)v^2+... \\f(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}};f(0)=1 \\ {f}'(v)=\frac{v}{c^2\left ( 1- \frac{v^2}{c^2}\right )^\frac{3}{2}};{f}'(0)=0 \\ {f}''(v)=\frac{3v^2}{c^4\left ( 1- \frac{v^2}{c^2}\right )^\frac{5}{2}}+\frac{1}{c^2\left ( 1- \frac{v^2}{c^2}\right )^\frac{3}{2}};{f}''(0)=\frac{1}{c^2}$

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 17 окт 2014, 19:46

Большое спасибо! Вы мне очень помогли, а то я сегодня ночью еле-еле заснул
Что-то переклинило меня на этой первой производной, сам не знаю, почему.

student_kiev

Еще проще (без взятия производных) можно разложить используя
$(1+x)^n =1+ \frac{1}{1!}nx + \frac{1}{2!} n(n-1)x^2 + \frac{1}{3!}n(n-1)(n-2)x^3 + \dots$

Dr. Arrieta · Сообщение **Dr. Arrieta** » 19 окт 2014, 15:43

Да, действительно, со степенным рядом еще проще. Вообще забыл о нем как-то.

yourdomain.com