Существует ли периодическое решение?

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 08 авг 2014, 14:59

Здравствуйте. У меня есть ДУ следующего вида

$a_{1}\left(t\right)\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+a_{2}\left(t\right)\frac{dx}{dt}+a_{3}\left(t\right)x+a_{4}\left(t\right)=0$ ,

причём все коэффициенты -- T-периодические, ограниченные функции: $a_i(t+nT) = a_i(t), \forall n \in \mathbb{Z}$ , причём $\displaystyle a_1(t) \ne 0 \, \forall \, t \in \mathbb{R}$ .

Существуют ли какие-то критерии, которые помогают ответить на вопрос: имеет ли данное уравнение T-периодическое частное ограниченное решение? И как искать начальные условия $x(0), \dot{x}(0)$ для такого решения?

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 11 авг 2014, 23:18

Как я смог выяснить, задача разрешима в общем виде. Поправьте, если ошибаюсь.

Для систем неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
$\displaystyle \dot{x}=A\left(t\right)x+b\left(t\right)$ ,
где $x\in\mathbb{R}^2, b(t): \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{2\times2}, A(t):\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2\times2}$
частное решение может быть выписано через фундаментальную матрицу $U(t) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{2\times2}$ , которая определяется как решение уравнения
$\displaystyle \frac{dU}{dt}=A\left(t\right)U$ , с единичными начальными условиями $U\left(0\right)=E_{2\times2}$ . Правда, найти эту матрицу довольно проблематично У меня она вырождается в одной точке.

Частное решение с НУ $$x(0) = x_0$$

запишется как
$\displaystyle x\left(t\right)=U\left(t\right)x_{0}+U\left(t\right)\int_{0}^{t}U^{-1}\left(t\right)b\left(t\right)dt$

Требуем, чтобы $$x(T) = x(0)$$

-- получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно $$x_0$$

$\displaystyle \left(U\left(T\right)-E\right)x_{0}=-U\left(T\right)\int_{0}^{T}U^{-1}\left(t\right)b\left(t\right)dt$ .

Осталось проверить -- сколько решений имеет данная система. Выбрать из них одно. Удостовериться, что найденные начальные данные порождают ограниченное решение. Ну, в моём случае это уже чисто техническая проблема.

yourdomain.com