Натуральные Гамильтоновы системы

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 08 янв 2014, 09:09

Здравствуйте. Может быть, больше относится к физике, но, думаю, математики смогут помочь в большей степени.

Есть натуральная гамильтонова система

$\dot{p}=-H_{q}$
$\dot{q}=H_{p}$

$\dot{q}\in\mathbb{R}^{n}$ с некоторым гамильтонианом $H\left(q,p\right)=T\left(q,p\right)-U\left(q\right)$ , $$T > 0$$

. У данной системы в начале координат фазового пространства есть положение равновесия

$H_{q}\left(0,0\right)=0$
$H_{p}\left(0,0\right)=0$

Причём, данная точка НЕ является точкой локального минимума потенциальной энергии $$U$$

. Собственно, вопрос: могут ли существовать в некоторой окрестности этой точки замкнутые фазовые траектории?

В книге Арнольда по классической механике есть достаточно неожиданное замечание:

Мне кажется, что даже неустойчивость положения равновесия для многомерной системы не означает отсутствие замкнутых фазовых траекторий. Я ошибаюсь?

Ian · Сообщение **Ian** » 09 янв 2014, 12:42

cupuyc писал(а):Source of the post
вопрос: могут ли существовать в некоторой
[сколь угодно малой]
окрестности этой точки замкнутые фазовые траектории?

Могут (но не будут охватывать точку) . Все траектории -это линии уровня гамильтониана. Почему бы им не быть такими, при дважды дифференцируемом по всем переменным гамильтониане.

А про энергию ничего не скажу, и вообще насколько жизненна такая ситуация

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 09 янв 2014, 14:40

Ian, достаточно неожиданно, что колебания происходят не вокруг положения равновесия. Это на самом деле ещё более интересно.

Хочу спросить о методах поиска таких решений гамильтоновых систем. Как-то в процессе чтения первого тома "Современной Геометрии" Дубровина и "Классической Механики" Арнольда немного сталкивался с теорией гомологий, симплектической геометрией. Я с этими разделами математики совершенно не знаком, но сложилось ощущение, что там содержатся ответы на некоторые из моих вопросов. Стоит ли лезть в эту область?

Так же достаточно интересно использование топологии в решении задач механики:

yourdomain.com