Построить график функции

geh · Сообщение **geh** » 04 янв 2014, 09:06

Дана функция
$\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a$ где a - параметр ( $$a>0$$

)
надо построить ее график
Итак, что мы имеем $x\ge0$ и $y\ge0$
кроме того граничными точками графика будут точки:
A(0;a) и B(a;0). Здесь я внимательно посмотрел на функцию и подумал
а ведь переменные то входят в уравнение симметрично, значит у этого графика есть ось симметрии $$y=x$$

решу ка я его несколько иным способом, чем возведение в квадрат или вычисление производных
Решение:
надо повернуть систему координат по часовой стрелке на угол в $45^\circ$
и пусть x' и y' новые переменные.
Связь между старыми и новыми координатами задается формулами Эйлера
$x'=x\cos\varphi+y\sin\varphi$
$y'=y\cos\varphi-x\sin\varphi$
или
$x=x'\cos\varphi-y'\sin\varphi$
$y=y'\cos\varphi+x'\sin\varphi$
угол $\varphi=-45^\circ$ ибо мы поворачиваем систему координат в отрицательном направлении.
имеем
$x=\frac{x'+y'}{\sqrt2}$
$y=\frac{y'-x'}{\sqrt2}$
и далее
$\sqrt{x'+y'}+\sqrt{y'-x'}=\sqrt{\sqrt2a}$
возводим в квадрат и приводим подобные
$2y'+2\sqrt{y'^2-x'^2}=\sqrt2a$
или
$\sqrt2\sqrt{y'^2-x'^2}=a-\sqrt2y'$
возводим еще раз в квадрат и приводим подобные, имеем:
$y'=\frac1{\sqrt2a}x'^2+\frac a{2\sqrt2}$
Да! Это парабола! Ее график столь подробно изучается в школе
что мне тут даже нечего добавить. Не забудьте, что эта парабола наклонена вправо (именно
вправо мы повернули систему координат на угол равный $45^\circ$ )
задача решена.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 янв 2014, 11:30

Точнее-кусок параболы

Тест автора: Как называется график $\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a$ ?
Тест мой: Что объединяет графики $\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a$ , $-\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a$ и $\sqrt x-\sqrt y=\sqrt a$ ?
Только эти тесты для школьников слишком непривычны (для внутришкольной олимпиады сойдет), а для студентов просты.
Ну и потом попросить найти фокус и директрису, могу без вычислений, чисто геометрически)

geh · Сообщение **geh** » 04 янв 2014, 12:14

Что объединяет все три графика? Только то, что это части кривых второго порядка.
А вот второй и третий график имеют больше общего. Они куски гиперболы. Более
того у них общая асимптота y=x. Мало этого они представляют собой две взаимообратные
функции. Откровенно говоря я давно не имел дела с гиперболами и вот так сразу по графику
не определю точно, где фокус или директриса. Но каждому свое. Гипербола не входит в сферу
моих интересов. Спасибо вам за вопросы, расширяющие и обобщающие данную тему.

Ian · Сообщение **Ian** » 04 янв 2014, 16:49

geh писал(а):Source of the post
Что объединяет все три графика? Только то, что это части кривых второго порядка.
А вот второй и третий график имеют больше общего. Они куски гиперболы. Более
того у них общая асимптота y=x. Мало этого они представляют собой две взаимообратные
функции. Откровенно говоря я давно не имел дела с гиперболами и вот так сразу по графику
не определю точно, где фокус или директриса. Но каждому свое. Гипербола не входит в сферу
моих интересов. Спасибо вам за вопросы, расширяющие и обобщающие данную тему.

Нет уж извините я ничего не расширил.Эти три графика вместе составляют ту же самую параболу, продолжения двух ветвей ее на рисунке не отображены и естественно встал вопрос: а какие у них уравнения? Вот те самые, проверьте конечно
Значит, ответ: эта самая парабола, уравнение которой в посте 1, их и объединяет.

geh · Сообщение **geh** » 04 янв 2014, 17:29

Ian · Сообщение **Ian** » 04 янв 2014, 18:16

geh · Сообщение **geh** » 05 янв 2014, 04:51

Вы абсолютно ПРАВЫ !! Я признаю свои ошибки и заблуждения!
я подверг анализу события вчерашнего дня. Что же произошло?
все просто. Я настолько привык оперировать с параболой когда
ее ось симметрии вертикальна или горизонтальна, что стоило ее
повернуть и я ее просто не узнал!! Мне это будет большим уроком.
Спасибо Вам !!! Я на всю жизнь запомню эту задачу и Вас!!
(...я так был уверен ...)

geh · Сообщение **geh** » 05 янв 2014, 06:58

Я тут подумал, что если бы на форуме присваивался
титул "Лучший математик форума 2013". То свой голос
я бы отдал Вам (если бы у меня было такое право)!!

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 05 янв 2014, 12:52

Присоединяюсь к предыдущему оратору! Ian the best!

yourdomain.com