Подобрать функции так, чтобы сумма была строго положительной

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 28 дек 2013, 03:45

Здравствуйте. У меня есть выражение
$\displaystyle f\left(s\right)=\frac{dx\left(s\right)}{ds}\cos y\left(s\right)+\frac{dy\left(s\right)}{ds}$

Нужно найти функции $x\left(s\right)$ и $y\left(s\right)$ такие, что

1. $f\left(\forall s\in\mathbb{R}\right)>0$ ;
2. они должны быть периодическими с кратными периодами $x\left(s+T\right)=x\left(s\right)$ , $y\left(s+\frac{m}{n}T\right)=y\left(s\right)$ , где $\frac{m}{n}$ -- рациональная дробь;
3. область значений $$y$$

должна являться подмножеством интервала $\left(-1;1\right)$ .

В голову приходит только численный поиск перебором. Представить обе функции в виде частичной суммы ряда Фурье и наугад перебирать коэффициенты. Если задача вообще разрешима.

Ian · Сообщение **Ian** » 28 дек 2013, 19:21

cupuyc писал(а):Source of the post
$\displaystyle f\left(s\right)=\frac{dx\left(s\right)}{ds}\cos y\left(s\right)+\frac{dy\left(s\right)}{ds}$

Это невозможно. Если бы было возможно, делалось бы так: Интегрированием $\int\frac{dy}{\cos y}$ , упрощается:
$\displaystyle f(s)=\cos y(s) \frac d{ds}\left(x+\ln\tg (y/2+\pi /4)\right)$
с учетом что при выбранных -1<y<1 косинус знакопостоянен, а аргумент у тангенса не выходит за $(0,\pi/2)$ (иначе он бы должен был браться по модулю), получаем, что в больших скобках-непрерывно дифференцируемая периодическая функция, у нее не может быть производная положительна всегда.
Другое дело, если разрешить y меняться в более широких границах (за пи/2 хоть в одну сторону), тогда $\int\frac{dy}{\cos y}$ не сводится к написанной формуле и можно работать дальше

cupuyc · Сообщение **cupuyc** » 28 дек 2013, 21:44

Ian, спасибо. Сам уже вчера осознал, что невозможно, рассмотрев интеграл $\int_{0}^{T}x'+\frac{1}{\cos y}y'ds=0$ . Раз интеграл равен нулю, то подынтегральное выражение должно менять знак или быть тождественно нулю. Оба варианта меня не устраивают.

Другая задача -- рассмотреть более общий случай. На плоскости (в некоторой ограниченной её области) задана замкнутая кривая $x\left(s\right),y\left(s\right)$ , например, с периодом $$1$$

, то есть $x\left(s+1\right)=x\left(s\right)$ и аналогично для $$y$$

. Кривая может иметь точки самопересечения. На этой кривой в её касательном расслоении задана форма
$\displaystyle f = a\left(x,y\right)\frac{dx}{ds}+b\left(x,y\right)\frac{dy}{ds}$ .

Как определить -- какими свойствами должна обладать эта кривая, чтобы $$f$$

была всюду знакопостоянной функцией?

Если форма имеет вид $a\left(x\right)\frac{dx}{ds}+b\left(x\right)\frac{dy}{ds}$ , то для любой кривой это невозможно. Это можно доказать введя новые координаты $\frac{d\xi}{ds}=a\left(x\right)\frac{dx}{ds}$ , $\frac{d\eta}{ds}=b\left(x\right)\frac{dy}{ds}$ . Но как быть в общем случае?

Ian · Сообщение **Ian** » 29 дек 2013, 08:41

cupuyc писал(а):Source of the post
Другая задача -- рассмотреть более общий случай. На плоскости (в некоторой ограниченной её области) задана замкнутая кривая $x\left(s\right),y\left(s\right)$ , например, с периодом , то есть $x\left(s+1\right)=x\left(s\right)$ и аналогично для . Кривая может иметь точки самопересечения. На этой кривой в её касательном расслоении задана форма
$\displaystyle f = a\left(x,y\right)\frac{dx}{ds}+b\left(x,y\right)\frac{dy}{ds}$ .

Как определить -- какими свойствами должна обладать эта кривая, чтобы была всюду знакопостоянной функцией?

Это форма циркуляции векторного поля $$(a,b)$$

. Два необходимых условия:
1)Параметризация кривой $$(x(s),y(s))$$

не должна давать участки,проходимые взад-вперед. А в остальном неважно, какая именно параметризация, важна лишь сама замкнутая кривая как множество на плоскости + направление обхода
2) z-компонента вихря
$\displaystyle \rot_z(a,b)=\frac{\d b}{\d x}-\frac{\d a}{\d y}$
должна быть положительна хоть где-то внутри кривой, из формулы Грина.
Но это не достаточные условия. Просто желательно искать кривую в области, где $\displaystyle \rot_z(a,b)$ знакопостоянный, и выбрать ей правильную ориентацию

yourdomain.com