Полиномы Эрмита

laplas · Сообщение **laplas** » 29 ноя 2013, 14:13

у меня тут вопрос появился. вот после центрирования полиномов, как найти коэффициент С?
у меня такая идея
$\displaystyle{I = \int_{\limits{-\infty}}^{\infty}}{e^{-a^2(x-x_0/2)^2}H_n(ax)H_k(a(x-x_0))dx}}$
делаем переобозначение x = x- x0/2
и получим сл интеграл
$\displaystyle{I =\int_{\limits{-\infty}}^{\infty}}{e^{-a^2x^2}H_n(a(x+x_0/2))H_k(a(x-x_0/2))dx}}$
и тогда получается, что вот эта константа С = 1
или это бред?

laplas · Сообщение **laplas** » 04 дек 2013, 10:31

дабы не плодить темы.

нужно исследовать поведение функции при малых и больших аргумантах

$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{n-m}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{n-m}(2t^2)$

где $C_{nm}$ - константа, которая зависит от n и m, причем $C_{nn} = 1$
$$L_m^k(x) $$

- обобщенные полиномы Лагерра
при n = m все понятно, выживает одна экспонента, а ее поведение хорошо известно.
а как быть при разных индексах?

добавлено:
упс, нет. при n=m выживает еще и $$L_m(2t^2) $$

тогда в нуле будет 1, а на бесконечности что будет быстрее? экспонента убывать или полином расти?

с одинаковыми индексами я разобрался. старшая степень многочлена будет t^2m, и в пределе экспонента будет быстрее убывать, чем степенная функция возрастать. поэтому на бесконечности ноль.

а при разных индексах мне кажется нужно рассмотреть такие случаи.
1) $$n=m+k$$

$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{k}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{k}(2t^2)$
2) $$n=m-k$$

$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{-k}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{-k}(2t^2)$

в обоих случаях старшая степень многочлена будет порядка t^2m.
по идее, при n не равном m, значение выражения и в нуле и на бесконечности должно быть ноль, как это доказать я не понимаю.

yourdomain.com