дабы не плодить темы.
нужно исследовать поведение функции при малых и больших аргумантах
![$$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{n-m}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{n-m}(2t^2)$$ $$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{n-m}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{n-m}(2t^2)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24I_%7Bnm%7D%28t%29%20%3D%20C_%7Bnm%7D%5Ccdot%20t%5E%7Bn-m%7D%5Ccdot%20exp%28-t%5E2%29%20%5Ccdot%20L_m%5E%7Bn-m%7D%282t%5E2%29%24%24)
где
![$$C_{nm}$$ $$C_{nm}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C_%7Bnm%7D%24%24)
- константа, которая зависит от n и m, причем
![$$C_{nn} = 1$$ $$C_{nn} = 1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24C_%7Bnn%7D%20%3D%201%24%24)
![$$L_m^k(x) $$ $$L_m^k(x) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24L_m%5Ek%28x%29%20%24%24)
- обобщенные полиномы Лагерра
при n = m все понятно, выживает одна экспонента, а ее поведение хорошо известно.
а как быть при разных индексах?
добавлено:
упс, нет. при n=m выживает еще и
![$$L_m(2t^2) $$ $$L_m(2t^2) $$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24L_m%282t%5E2%29%20%24%24)
тогда в нуле будет 1, а на бесконечности что будет быстрее? экспонента убывать или полином расти?
с одинаковыми индексами я разобрался. старшая степень многочлена будет t
2m, и в пределе экспонента будет быстрее убывать, чем степенная функция возрастать. поэтому на бесконечности ноль.
а при разных индексах мне кажется нужно рассмотреть такие случаи.
1)
![$$n=m+k$$ $$n=m+k$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24n%3Dm%2Bk%24%24)
![$$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{k}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{k}(2t^2)$$ $$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{k}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{k}(2t^2)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24I_%7Bnm%7D%28t%29%20%3D%20C_%7Bnm%7D%5Ccdot%20t%5E%7Bk%7D%5Ccdot%20exp%28-t%5E2%29%20%5Ccdot%20L_m%5E%7Bk%7D%282t%5E2%29%24%24)
2)
![$$n=m-k$$ $$n=m-k$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24n%3Dm-k%24%24)
![$$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{-k}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{-k}(2t^2)$$ $$I_{nm}(t) = C_{nm}\cdot t^{-k}\cdot exp(-t^2) \cdot L_m^{-k}(2t^2)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24I_%7Bnm%7D%28t%29%20%3D%20C_%7Bnm%7D%5Ccdot%20t%5E%7B-k%7D%5Ccdot%20exp%28-t%5E2%29%20%5Ccdot%20L_m%5E%7B-k%7D%282t%5E2%29%24%24)
в обоих случаях старшая степень многочлена будет порядка t
2m.
по идее, при n не равном m, значение выражения и в нуле и на бесконечности должно быть ноль, как это доказать я не понимаю.