Задача аппроксимации экспоненты

st256 · Сообщение **st256** » 25 ноя 2013, 14:43

Хочу аппроксимировать экспоненту конечным рядом:

$e^{-jxT} = C_0 + C_1 e^{-jx} + C_2 e^{-j2x} + ... + C_n e^{-jnx}$ ,

где $$ 0 < T < 1 $$

При этом аппроксимировать нужно не на всем интервале $x \in [ -\pi , \pi ]$ , а только на совсем маааааленком интервальчике $x \in [ -a , a ]$ . Но сделать хотелось бы эту аппроксимацию на этом интервале оптимамально. Например, минимизировать СКО или по ~~ЧебышОву~~ Чебышёву... Ну как получится. Сильно надеюсь, что сия задача уже давно кем-то и успешно решена.

Спасибо.

P.S. Как вы поняли, аппроксимировать - это найти все $$C_n$$

для заданных $$a$$

и

.

M	Предпоследняя буква в фамилии известного русского математика не Е, но и не О, а Ё.

A	Предпоследняя буква в фамилии известного русского математика не Е, но и не О, а Ё.

st256 · Сообщение **st256** » 25 ноя 2013, 17:50

При Пафнутии Львовиче употребление буквы ё не было формально узаконено. Вот ее и не употребляли. До 1956 года.

Vector · Сообщение **Vector** » 25 ноя 2013, 21:42

Не знаю, как это поможет делу, но я нашёл, что разложение в ряд Фурье следующее:

${e^{ - jxT}} = \frac{{\sin \pi T}}{{\pi T}}\left[ {1 + 2\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}\left( {\cos kx - j\frac{k}{T}\sin kx} \right)}}{{1 - {{\left( {\frac{k}{T}} \right)}^2}}}} } \right]$

Vector · Сообщение **Vector** » 25 ноя 2013, 22:15

st256 писал(а):Source of the post
Сильно надеюсь, что сия задача уже давно кем-то и успешно решена.

Вот нашёл, смотрите формулу

On approximation of functions by exponential sums

Как разберётесь, отпишитесь - самому интересно.

st256 · Сообщение **st256** » 26 ноя 2013, 06:00

Спасибо, начинаю смотреть.

kiv · Сообщение **kiv** » 26 ноя 2013, 06:08

st256 писал(а):Source of the post
M Предпоследняя буква в фамилии известного русского математика не Е, но и не О, а Ё.
A Предпоследняя буква в фамилии известного русского математика не Е, но и не О, а Ё.

Должен заметить, что даже такой специалист, как Кнут, которому в этих вопросах я доверяю полностью - у него даже Эйлер пишется по русски как "Ейлеръ" - пишет Чебышев, как, видимо, писалось во времена его жизни.

Более того, в издательском деле требуется (не скажу, насколько часто, но в редакциях "Диалектика" и "Вильямс" - 100%) НЕ использовать ё, ставя вместо нее е, и разрешая ё в исключительных случаях...

Так что в написании Чебышев нет никакого криминала (в отличие от Чебышов, конечно

).

Прошу прощения за свои вставленные 5 копеек не совсем в тему.

yourdomain.com