laplas писал(а):Source of the post я не понимаю. вы меня запутали.
какое преобразование экспонент из двух верное?
я второй день пытаюсь получить ваше выражение, все бестолку.
Там точно
![$$(x-\frac{x_0}2)^2$$ $$(x-\frac{x_0}2)^2$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x-%5Cfrac%7Bx_0%7D2%29%5E2%24%24)
при выделении полного квадрата, а у вас этого нет. Но это просто упражнение, никак не применяемое при решении поставленной задачи
может тогда просто взять и руками взять несколько интегралов, сначала
n=m=0,1,2,
а потом для n не равных m?
хотя я не уверен, что интегралы для n и m больше нуля будут браться.
Будут!! В уме!! Ради того я и пост писал. Это же хорошая идея Эрмита &Co: ортогональные многочлены со степенями, возрастающими через 1, не просто ортогональны друг другу, а каждый
![$$H_n(x)$$ $$H_n(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_n%28x%29%24%24)
ортогонален всем многочленам степени строго ниже n. Доказательство .Пусть
![$$n>m$$ $$n>m$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24n%3Em%24%24)
,
![$$P_m(x)$$ $$P_m(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24P_m%28x%29%24%24)
произвольный степени m. Разложим
![$$P_m(x)=\sum_{k=0}^mc_kH_k(x)$$ $$P_m(x)=\sum_{k=0}^mc_kH_k(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24P_m%28x%29%3D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5Emc_kH_k%28x%29%24%24)
, это можно сделать делением с остатком
![$$P_m$$ $$P_m$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24P_m%24%24)
на
![$$H_m$$ $$H_m$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_m%24%24)
, остаток многочлен степени не выше
![$$m-1$$ $$m-1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24m-1%24%24)
, его разделим с остатком на
![$$H_{m-1}$$ $$H_{m-1}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_%7Bm-1%7D%24%24)
и т.д. Теперь
![$$H_n(x)$$ $$H_n(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_n%28x%29%24%24)
ортогонален всем упомянутым
![$$H_k(x)$$ $$H_k(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_k%28x%29%24%24)
, а значит, их линейной комбинации.
Поэтому от
![$$H_m(x-x_0)$$ $$H_m(x-x_0)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_m%28x-x_0%29%24%24)
мы используем только то, что его степень m, а не то, что он сдвинутый эрмитов.Ответ: интегралы в посте 1 равны 0 при
![$$m\ne n$$ $$m\ne n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24m%5Cne%20n%24%24)
Наконец, что делать при
![$$m=n$$ $$m=n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24m%3Dn%24%24)
- рассмотреть
![$$H_m(x-x_0)-H_m(x)$$ $$H_m(x-x_0)-H_m(x)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_m%28x-x_0%29-H_m%28x%29%24%24)
, его степень ровно m-1 и он уже ортогонален
![$$H_n$$ $$H_n$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24H_n%24%24)