ИМХО правильно говорят, что численные методы нахождения многомерного экстремума удобнее в работе, чем решение системы алгебраических уравнений
Есть еще один метод (идея участника alekcey, который говорит, что это метод Драгилева). Координаты возьмем трехмерные декартовы (а то ведь на полюсе и нулевом мередиане скачок), а за тем, чтобы точки и пути были на сфере, проследим специально. Возьмем 2 из данных точек
![$$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)$$ $$(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2C%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29%24%24)
, найдем аналитически на кратчайшей дуге большого круга точку
![$$(x_0,y_0,z_0)$$ $$(x_0,y_0,z_0)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29%24%24)
, для которой разность времени прихода сигнала равна заданной
![$$\Delta t_{12}$$ $$\Delta t_{12}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5CDelta%20t_%7B12%7D%24%24)
То есть
![$$\displaystyle f(x,y,z)=2\arcsin \frac{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}2-2\arcsin \frac{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}2=\Delta t_{12}$$ $$\displaystyle f(x,y,z)=2\arcsin \frac{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}2-2\arcsin \frac{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}2=\Delta t_{12}$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20f%28x%2Cy%2Cz%29%3D2%5Carcsin%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%28x-x_1%29%5E2%2B%28y-y_1%29%5E2%2B%28z-z_1%29%5E2%7D%7D2-2%5Carcsin%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%28x-x_2%29%5E2%2B%28y-y_2%29%5E2%2B%28z-z_2%29%5E2%7D%7D2%3D%5CDelta%20t_%7B12%7D%24%24)
(1)
в точке
![$$(x_0,y_0,z_0)$$ $$(x_0,y_0,z_0)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x_0%2Cy_0%2Cz_0%29%24%24)
. Также по построению
![$$x^2+y^2+z^2=1$$ $$x^2+y^2+z^2=1$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2%3D1%24%24)
(2) в этой точке. Точки , удовлетворяющие системе условий (1) и (2), образуют непрерывную замкнутую кривую. Пройдем ее с выбранным малым шагом, смещаясь на
![$$(dx,dy,dz)$$ $$(dx,dy,dz)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28dx%2Cdy%2Cdz%29%24%24)
на каждом шаге.Дифференцируем условия:
![$$\displaystyle \\\frac{\d f}{\d x}dx+\frac{\d f}{\d y}dy+\frac{\d f}{\d z}dz=0\\xdx+ydy+zdz=0$$ $$\displaystyle \\\frac{\d f}{\d x}dx+\frac{\d f}{\d y}dy+\frac{\d f}{\d z}dz=0\\xdx+ydy+zdz=0$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%5Cdisplaystyle%20%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cd%20f%7D%7B%5Cd%20x%7Ddx%2B%5Cfrac%7B%5Cd%20f%7D%7B%5Cd%20y%7Ddy%2B%5Cfrac%7B%5Cd%20f%7D%7B%5Cd%20z%7Ddz%3D0%5C%5Cxdx%2Bydy%2Bzdz%3D0%24%24)
Это однородная линейная система ранга 2, из нее
![$$(dx,dy,dz)$$ $$(dx,dy,dz)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28dx%2Cdy%2Cdz%29%24%24)
находятся с точностью до множителя. Модуль множителя выбираем, чтобы модуль шага был нужный, а знак множителя - чтобы условие разности расстояний с третьей точкой выполнялось в точке
![$$(x+dx,y+dy,z+dz)$$ $$(x+dx,y+dy,z+dz)$$](http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24%28x%2Bdx%2Cy%2Bdy%2Cz%2Bdz%29%24%24)
лучше , а не хуже ( скалярное произведение с градиентом проверить можно, или в лоб)
Поскольку модуль шага фиксирован, а длина кривой конечна, обязательно пройдем через нужную точку, если она есть)