Интегрирование

[Math]

Скажите пожалуйста, где можно (лучше в интернете) найти доказательство того, что интеграл Лебега-Стилтьеса (и Риманна-Стилтьеса) могут быть построены только когда интегрируем по функции имеющей ограниченную вариацию?

[Ian]

Некоторые авторы предполагают уже при определении каждого из этих интегралов, что функция имеет ограниченную вариацию, например известная Вам книга Колмогоров-Фомин , а некоторые нет (вот например такая ссылка на пдф, пример 4). И как вы представляете себе доказательство того, что f интегрируема по g ТОЛЬКО если g=ОВ? Что интегральные суммы расходятся ? Но для f=0 они всегда равны 0.

[Math]

Мой вопрос возник из того, что стохастический интеграл (интеграл Ито по Броуновскому движению) нельзя строить как интеграл Риманна-Стилтьеса (то есть делать потраекторное интегрирование) потому что Броуновское движение имеет неограниченную вариацию. Здесь говорится, что имеется доказательство того, что если интеграл существует как интеграл Риманна-Стилтьеса для всех непрерывных на , то должна быть обязательно ограниченной вариации.

[Ian]

Source of the post Здесь говорится, что имеется доказательство того, что если интеграл существует как интеграл Риманна-Стилтьеса для всех непрерывных на , то должна быть обязательно ограниченной вариации.

Для всех непрерывных f- тогда это реально. Но должны быть предварительные условия и на g, хватит кусочной непрерывности и почти всюду дифференцируемости.Тогда доказать можно по такой схеме: измеримая функция на отрезке, приблизим ее по теореме Лузина непрерывной функцией f, тогда близок к полному изменению функции g
Однако броуновские траектории, кажется, нигде не дифференцируемы с верояностью 1
А про интеграл Ито я не в курсе. если бы где-то это было аккуратно определено, интересно почитать)