несобственный интеграл

tennisru · Сообщение **tennisru** » 10 апр 2013, 21:51

$\int_{1}^{+\infty}{|sinx|^{(x ^ {p})}dx}$
p параметр
как его решать?

bot · Сообщение **bot** » 11 апр 2013, 05:05

Решить интеграл нельзя. Его можно вычислить (взять, разогнуть ...), установить сходимость или расходимость - да мало ли задач с интегралами. Кто-то с их помощью шляпы из луж вылавливает. У Вас какая задача? Вот задачу решить можно.

Ian · Сообщение **Ian** » 11 апр 2013, 09:50

tennisru писал(а):Source of the post
$\int_{1}^{+\infty}{|sinx|^{(x ^ {p})}dx}$
p параметр

Докажем его расходимость при p=2 (и тогда всех меньших р)
$\displaystyle \\\int_{1}^{+\infty}{|sinx|^{(x ^ {p})}dx}=\int_{1}^{\pi}{|sinx|^{(x ^ {p})}dx}+\sum_{n=1}^{\infty}\int_{0}^{\pi}{|sinx|^{(x+\pi n )^ {p}}dx}>\\>\sum_{n=N}^{\infty}\int_{\pi/2-1/n}^{\pi/2+1/n}{|sinx|^{(x+\pi n )^ {p}}dx}>\\>\sum_{n=N1}^{\infty}\frac 2n\sup_{n=N1}^{\infty}(1-\frac 1{2n^2})^{(\pi (n+1) )^ {2}}>Ce^{-\pi ^2/2}\sum_{n=N1}^{\infty}\frac 2n\to\+\infty$
(Здесь по ходу дела существуют такие N, потом N1>N, что соответствующие неравенства выполняются почленно)
Аналогично, выбирая чуть быстрее чем 1/n стремящуюся к нулю окрестность точек $\pi/2+\pi n$ , доказываем сходимость при p>2 (сами)

yourdomain.com