Анализ разности функций вероятности

Vector · Сообщение **Vector** » 21 мар 2013, 09:26

Подскажите пожалуйста, есть ли какая-нибудь теорема по следующему вопросу.

Пусть $$P(x)=F(x+d)-F(x)$$

,

где F(x) - функция вероятности непрерывного распределения, d>0. Тогда P(x) - неотрицательная функция у которой один максимум, причем до этого максимума функция монотонно возрастает, а после него монотонно спадает.

То, что это положительная функция очевидно из определения функции вероятности, а вот остальная часть мне не сильно очевидна.

Спасибо!

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 21 мар 2013, 09:59

Ну если распределение равномерное, то максимумов будет бесконечное число, по всей области определения

У вас вообще любая плотность вероятности распределения имеется в виду?

Vector · Сообщение **Vector** » 21 мар 2013, 10:16

Dragon27 писал(а):Source of the post
Ну если распределение равномерное, то максимумов будет бесконечное число, по всей области определения

У вас вообще любая плотность вероятности распределения имеется в виду?

Спасибо, только не по всей области определения, а там, где P(x)=1. Значит, неправильно сформулировал, задачу. Сейчас, подумаю, что я хочу доказать.

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 21 мар 2013, 10:19

Vector писал(а):Source of the post там, где P(x)=1

Зависит от длины шага $$d$$

.

Vector · Сообщение **Vector** » 21 мар 2013, 10:35

А если в такой формулировке,

Пусть $$P(x)=F(x+d)-F(x)$$

,

где

- функция вероятности абсолютно непрерывного распределения (любого), $$d>0$$

.

Тогда для любого $$0<P_0<1$$

всегда найдутся такие две точки $$x_1$$

и

, $x_1 \not= x_2$ , что $$P_0=P(x_1)=P(x_2)$$

, причём эти точки единственные?

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 21 мар 2013, 10:50

Для равномерного распределения $$P(x)$$

постоянно, ну и сами видите
Вы вообще чего хотите сделать?

Есть плотность распределения $$f(x)$$

(неотрицательна, нормируется так, чтоб интеграл по всей области определения был равен единице). Есть функция распределения $$F(x)$$

(интеграл от плотности распределения от нижней границы). Все их свойства очевидны из свойств интеграла.

Vector · Сообщение **Vector** » 21 мар 2013, 10:56

Dragon27 писал(а):Source of the post
Для равномерного распределения постоянно, ну и сами видите
Вы вообще чего хотите сделать?

У меня

, а для равномерного $$P_0=1$$

, когда

постоянна.

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 21 мар 2013, 11:01

Ну да, равномерное распределение - контрпример к вашему утверждению.
Почему $$P_0=1$$

? 1 - это максимальное значение $$F(x)$$

в самом правой точке. Если шаг $$d$$

мал, то и

будет мало, зависит от наклона отрезка на графике равномерного распределения (отрезок от точки $$(a,0)$$

до

). А

будет постоянным от $$a$$

до

(и нулевым при $$x<a-d$$

или

).

Vector · Сообщение **Vector** » 21 мар 2013, 11:08

Dragon27 писал(а):Source of the post
Ну да, равномерное распределение - контрпример к вашему утверждению.
Почему ? 1 - это максимальное значение в самом правой точке. Если шаг мал, то и будет мало, зависит от наклона отрезка на графике равномерного распределения (отрезок от точки до ). А будет постоянным от до (и нулевым при или ).

По новой формулировке $$P_0$$

не зависит от $$P(x)$$

и оно строго больше нуля и строго меньше единицы. Поэтому равномерное распределение в этом случае не контрпример.

Как можно использовать, что $P(\infty)=P(-\infty)=0,\[\quad \]0 \le P(x) \le1$ , а функция $$F(x)$$

монотонно возрастающая?

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 21 мар 2013, 11:20

То, что функция $$F(x)$$

монотонно возрастающая, не означает, что $$F(x+d)-F(x)$$

будет иметь только один максимум. Пример: $\frac{\sin(5x)+5x}{10\pi}$ для $0 \leq x \leq 2\pi$ .

Vector писал(а):Source of the post
По новой формулировке не зависит от и оно строго больше нуля и строго меньше единицы. Поэтому равномерное распределение в этом случае не контрпример.

Но ведь

, по вашей формулировке, это произвольное число, для которого должно быть выполнено то, что дальше по тексту. По тексту звучит так, что я могу взять произвольное число больше нуля и меньше единицы, и для него обязательно найдутся нужные точки. Условия указаны до этого. В этом случае контрпример вполне законен. Выразите условия точнее.

yourdomain.com