Положительно определенная ф-я на единичной окружности

Vector · Сообщение **Vector** » 10 мар 2013, 17:20

Подскажите, пожалуйста, как можно проверить является ли интегрируемая функция $$K(\varphi ),\quad K:D \to \mathbb{R}\quad D \in \left[ {0,2\pi } \right)$$ положительно определённой? Достаточно ли её на выпуклость проверить? В [1] на стр.5 (пример после следствия 2) это делают каким-то диким образом?

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 10 мар 2013, 23:49

А причем там выпуклость? $\sqrt{x}$ принимает только неотрицательные значения.

fri739 · Сообщение **fri739** » 11 мар 2013, 00:28

Hottabych писал(а):Source of the post
А причем там выпуклость? $\sqrt{x}$ принимает только неотрицательные значения.

Положительно-определенная функция это не то же самое, что функция, принимающая неотрицательные значения: [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function]http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function[/url]

В частности, $f(x)=\sqrt{x}$ не является положительно-определенной.

bot · Сообщение **bot** » 11 мар 2013, 04:59

fri739 писал(а):Source of the post
В частности, $f(x)=\sqrt{x}$ не является положительно-определенной.

Ровно по Вашей ссылке [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function]http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function[/url] функция $f(x)=\sqrt{x}$ является положительно определенной.

ЗЫ. Если снять ограничение на дифференцируемость (и заменить на непрерывность) на краю, что обычно и делается для замкнутого множества.

ЗЗЫ. Что-то я не заметил функции $f(x)=\sqrt{x}$ ни на стр. 5 ни в её окрестности и вообще ещё надо бы посмотреть, что подразумевается в статье под положительно определённой функцией - как видно из wiki это зависит от контекста.

Ian · Сообщение **Ian** » 11 мар 2013, 06:31

Возможно , речь о свойствах ковариаций, аналогичных свойствам скалярного произведения: для любого набора случайных величин $\xi_1,..\xi_n$ матрица из $Cov(\xi_i,\xi_j)$ положительно определена, так как $\displaystyle D(\sum_{i=1}^nx_i\xi_i)=\sum_{i,j=1}^n Cov(\xi_i,\xi_j)x_ix_j\geqslant 0$

Vector · Сообщение **Vector** » 11 мар 2013, 07:48

Hottabych писал(а):Source of the post
А причем там выпуклость? $\sqrt{x}$ принимает только неотрицательные значения.

Спасибо за ответы! Не могу понять откуда всплыла функция $\sqrt{x}$ , ? Может у Вас первый пост неправильно отображается. Вопрос был про положительно определённые ф-ии на ед. окружности (в общем). Речь идёт о ковариациях, как правильно заметил Ian.

Если ф-я положительно-определенная на бесконечной оси, то по теореме Бохнера-Хинчина необходимо, чтобы её спектральная плотность была положительной. Такую проверку я нашёл в книге Панкова и Миллера.

Для ф-ии на ед. окружности это, по всей видимости, не годится, т.к. те ф-ии, которые пишут, что они положительно определённые на ед. окружности, как я проверял, могут иметь отрицательные значения спектральной плотности. В том отчете, на который ссылка в первом посте, как видно, есть специальная теорема №2 для ед. окружности, и проверять по ней, судя по всему, очень даже непросто. Как я понял, там случай для комплексно-значных функций, наверное для вещественных она как-то упрощается?

Например, из этого же источника, функция

$\ K(\varphi)=exp \left( { - \frac{{2\sin \left( {\varphi /2} \right)}}{\alpha }} \right)$

является положительно определённой при любых положительных $$\alpha \in {\mathbb{R}^ + }$$ .

Вычисление спектральной плотности

$S\left( \lambda \right) = \frac{1}{\pi }\int\limits_0^\pi {K\left( \varphi \right)\cos } \left( {\lambda \varphi } \right)d\varphi$

показывает, что она может принимать отрицательные значения, например в точке $\alpha = 2.321.$ Правда, насчет формулы для спектральной плотности не полностью уверен.

fri739 · Сообщение **fri739** » 11 мар 2013, 14:03

bot писал(а):Source of the post
Ровно по Вашей ссылке [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function]http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function[/url] функция $f(x)=\sqrt{x}$ является положительно определенной.

Нет, это не так. Для положительно-определенной функции $$f$$

должно, как минимум, выполняться $f(-x)=\overline{f(x)}$ .

В статье, на которую ссылается автор поста, явно используется второе определение, из двух приведенных в Википедии (то же самое, что упомянул lan выше).

Vector · Сообщение **Vector** » 11 мар 2013, 15:25

Всем спасибо, ответ нашел здесь [2] (Теорема 1, стр.120). Вместо спектра используется разложение в ряд Фурье - все коэффициенты разложения должны быть неотрицательными числами, в.т.ч., ф-я должна быть выпуклая.

yourdomain.com