ДУЧП

[inferno1993]

Здравствуйте. Нужно составить краевую задачу и решить ее вот для такого задания:

Продольные колебания упругого однородного стержня конечной длины. Оба конца закреплены с разной жесткостью.

Краевая задача у меня получилась такая:
( U(t,x) - смещение стержня, l-длина стержня)
U_tt-c²*U_xx
U(0,x)=f(x) - начальное условие
U_t(0,x)=f₂(x) - начальное условие
U_x(0,t)=h₁*U(0,t) - граничное условие
U_x(l,t)=h₂*U(l,t) - граничное условие

решение я искал в виде U(t,x)=X(x)*T(t), в этом случае получилось построить задачу Штурма Лиувилля:

X"(x)-a*X(x)=0
X'(0)=h₁*X(0)
X'(l)=h₂*X(l)

и рассматривал 3 случая: a=0; a=k²; a=-k².
для случая a=0 у меня получилось что нетривиальные решения отсутствуют,
для a=k² получилось страшное уравнение относительно k, но мне кажется что там тоже нет решений.

а вот для случая a=-k². у меня получилось выражение относительно k, у которого точно есть решения (я находил их для конкретных l и h1, h2 с помощью вольфрама) но выразить их в общем виде у меня не получается.
уравнение выглядит так:
((h₂-h₁)*k)*ctg(l*k)=h₁*h₂*k

Подскажите пожалуйста - не ошибся ли я при построении задачи. Или при ее решении. И подскажите как ее решать дальше. У меня не получается выразить k из последнего уравнения.