Найти функцию

Math · Сообщение **Math** » 19 окт 2012, 17:26

Подскажите пожалуйста следующее.
Для решении уравнения (здесь его не привожу) необходимо найти функцию $$K(z)$$

заданную $\int_0^TB(z,T)K(z)dz=\frac{1}{2}\int_0^T\sigma^2(z)B^2(z,T)dz-\ln A(0,T)$ . Все остальные функции даны. С другой стороны, для решения уравнения также достаточно найти $\int_0^t B(z,T)K(z)dz$ . Что из этих двух задач проще? И как их решить?
Спасибо.

Ian · Сообщение **Ian** » 19 окт 2012, 18:15

Нужен точный вид функции $$B(z,t)$$

хотя бы

Math · Сообщение **Math** » 19 окт 2012, 18:21

Ian писал(а):Source of the post
Нужен точный вид функции хотя бы

$B(t,T)=\frac{B(0,T)-B(0,t)}{\partial B(0,t)/ \partial t}$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 19 окт 2012, 19:15

Что-то может сводящееся к первому из этих
Но точного вида все еще нет,однако возможна замена переменных и неизвестной функции

Math · Сообщение **Math** » 20 окт 2012, 19:03

Я приведу уравнение которое решаю и в результате решения которого возникла эта задача. Необходимо решить $A_{tT}AB-A_tA_TB-A_tAB_T+\frac{1}{2}s(t)^2(AB)^2B_T=0$ , при условии $$A(T,T)=1$$

и дана функция $$A(0,T)$$

. Решаем
$\frac{A_{tT}AB-A_t(A_TB+AB_T)}{(AB)^2}=-\frac{1}{2}s(t)^2B_T$ ,
$\frac{\partial}{\partial T}\Big(\frac{A_t}{AB}=-\frac{1}{2}s(t)^2\frac{\partial}{\partial T}B$ ,
$\frac{A_t}{AB}=\frac{1}{2}s(t)^2B+K(t)$ ,
$\frac{A_t}{A}=-\frac{1}{2}s(t)^2B^2+BK(t)$ ,
$\frac{\partial}{\partial t}\ln A=-\frac{1}{2}s(t)^2B^2+BK(t)$ .
Получаем общее решение
$\ln A(t,T)=-\frac{1}{2}\int_0^ts(z)^2B(z,T)^2dz+\int_0^tB(z,T)K(z)dz+L(T)$ .
Сразу получаем $$L(T)=A(0,T)$$

. Теперь необходимо определить $$K(z)$$

или интеграл с ней.

Ian · Сообщение **Ian** » 21 окт 2012, 10:56

У Вас приемы в посте 5 совершенно достаточные для решения, но где-то ошибка, правильно интегрируя сначала по T,потом по t, получаем просто явный вид функции A(t)

Math · Сообщение **Math** » 22 окт 2012, 11:26

Ian писал(а):Source of the post
У Вас приемы в посте 5 совершенно достаточные для решения, но где-то ошибка, правильно интегрируя сначала по T,потом по t, получаем просто явный вид функции A(t)

В том то и дело, что вычисления все простые, но вот ответ простой не получается. Хотя решение довольно простое. Кстати, почему-то формулы не отображаются. Это на всём форуме так?

Ian · Сообщение **Ian** » 22 окт 2012, 17:14

Math писал(а):Source of the post
Кстати, почему-то формулы не отображаются. Это на всём форуме так?

На всем так. Я ваш пост 5 скопировал в ликс и там все отобразилось, решил, выразил явно А через В и сигму, граничное условие учел.Но думал что такое долго не продлится и не сохранил, поэтому голословно.
Ну вот вкратце Выразили производную (A_t/AB)_T проинтегрировали по T и даже справа упростили. Дальше как Вы верно заметили A_t/A=(lnA)_t и вот А в виде экспоненты интеграла от известных функций

Math · Сообщение **Math** » 22 окт 2012, 18:15

И всё-таки я приведу решение
$\hat{A}(t,T)=\hat{A}(0,T)-\hat{A}(0,t)-B(t,T)\frac{\partial\hat{A}(0,t)}{\partial t}$
$-\frac{1}{2}\Big(B(t,T)\frac{\partial B(0,t)}{\partial t}\Big)^2\int_0^t\Big(\frac{s(\tau)}{\partial B(0,\tau)/\partial \tau}\Big)^2d\tau$ , где $\hat{A}(t,T)=\ln A(t,T)$ .

yourdomain.com