Дифференциал обратной функции

ansm10 · Сообщение **ansm10** » 08 окт 2012, 15:34

Уважаемые математики!

Пусть выполнены все условия существования дифференциала обратной функции. Если $x= \varphi (y)$ , то $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ . Мы можем выполнить такое преобразование, потому что по определению дифференциал $$dx$$

линейно зависит от $$dy$$

. Вопрос вот в чем: почему мы можем дифференциал $$dy$$

представить как функцию, а $$dx$$

- как независимую переменную в выражении $\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ ? (Может, нужно сослаться на инвариантность...)

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 08 окт 2012, 15:59

Потому что в условии теоремы о нахождении производной обратной функции сказано - пусть существует дифференцируемая функция y=f(x)

ansm10 · Сообщение **ansm10** » 08 окт 2012, 17:11

vicvolf писал(а):Source of the post
Потому что в условии теоремы о нахождении производной обратной функции сказано - пусть существует дифференцируемая функция y=f(x)

Я поясню свой вопрос. Как вот из этого выражения

$\frac{dy}{dx(y)}$

получилось вот это выражение

$\frac{dy(x)}{dx}$ ?

sw_pro@mail.ru

ansm10 писал(а):Source of the post Если $x= \varphi (y)$ ...

дифференцируем обе части по $x, 1 = \frac {dx(y)} {dy} \frac {dy(x)} {dx}$

ansm10 · Сообщение **ansm10** » 08 окт 2012, 18:57

sw_pro@mail.ru писал(а):Source of the post
ansm10 писал(а):Source of the post Если $x= \varphi (y)$ ...
дифференцируем обе части по $x, 1 = \frac {dx(y)} {dy} \frac {dy(x)} {dx}$

Класс! У меня такая-же мысля крутилась, но я ее не смог довести до ума. Спасибо.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 09 окт 2012, 08:32

ansm10 писал(а):Source of the post
Вопрос вот в чем: почему мы можем дифференциал представить как функцию,

Вот какой был вопрос и был соответствующий ответ.

vicvolf писал(а):Source of the post
Потому что в условии теоремы о нахождении производной обратной функции сказано - пусть существует дифференцируемая функция y=f(x)

Ведь не спрашивали о выводе самой формулы!

ansm10 · Сообщение **ansm10** » 10 окт 2012, 06:35

ansm10 писал(а):Source of the post

Я поясню свой вопрос. Как вот из этого выражения

$\frac{dy}{dx(y)}$

получилось вот это выражение

$\frac{dy(x)}{dx}$ ?

Отвечу на свой вопрос сам, потому что ответ Любитель чая не отражает суть вещей. Дело тут в теореме об инвариантности формы дифференциала. То есть не имеет значения, является ли $$x$$

функцией от $$y$$

или нет.

sw_pro@mail.ru

ansm10 писал(а):Source of the post Отвечу на свой вопрос сам, потому что ответ Любитель чая не отражает суть вещей. Дело тут в теореме об инвариантности формы дифференциала. То есть не имеет значения, является ли функцией от или нет.

Это хорошо, что Вы прочитали эту теорему. Будет еще лучше, если Вы посмотрите и ее вывод. "Суть вещей" в том, что теорема есть следствие правила дифференцирования сложной функции.
Если есть возможность применить само правили, зачем применять его следствие?

yourdomain.com