Пределы и доказательства

JeffLebovski

Небольшое замечание (наверное и без того ясное):
То что для непрерывной $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ имеем $\lim\limits_{x\to\x _0}f(x)=f(x_0)$ как раз таки следует из определения непрерывности. Если рассматривать определния непрерывности в точке более общее (применимое для произвольных топологических пространтв) и определения предела последовательности, такое какое оно даётся в топологии, то доказетельства равенства вашегно преджела 30 по определнию будет понятно как получатся.

P.S. Заранее извините, если кого-нибудь ввел в заблуждение или запутал.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 02 авг 2012, 20:17

Чувак, я не знаком с топологией.

bot · Сообщение **bot** » 03 авг 2012, 04:00

Ellipsoid писал(а):Source of the post
Не нужно доказывать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{(x_n^2+6x_n)}=16$ . Но, исходя из этого, нужно доказать, что $\displaystyle \lim_{n \to \infty}{x_n}=2$ .

А не докажете. Возьмите $x_n=-3+5\cos \pi n + \alpha_n$ , где $\alpha_n$ - любая бесконечно малая.

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 06 авг 2012, 21:00

bot писал(а):Source of the post
А не докажете. Возьмите $x_n=-3+5\cos \pi n + \alpha_n$ , где $\alpha_n$ - любая бесконечно малая.

$\displaystyle x_n>0$

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 06 авг 2012, 21:14

Возник такой вопрос. А как соотносятся неравенство и его следствие? Уравнение $\displaystyle \varphi (x)=0$ является следствием уравнения $\displaystyle f (x)=0$ , если все корни уравнения $\displaystyle f(x)$ являются и корнями уравнения $\displaystyle \varphi (x)=0$ . Понятно, что уравнение $\displaystyle \varphi (x)=0$ может иметь и корни, не входящие в множество решений уравнения $\displaystyle f(x)=0$ . Видимо, то же самое и с неравенствами: неравенство $\displaystyle g(x)>0$ есть следствие неравенства $\displaystyle h(x)>0$ , если множество решений $\displaystyle h(x)>0$ является подмножеством множества решений $\displaystyle g(x)>0$ . Например, неравенство $\displaystyle x>3$ - следствие неравенства $\displaystyle x>5$ , т.к. $\displaystyle A \subset B$ , где $\displaystyle A=(5; \ + \infty); \ B=(3; \ + \infty)$ .

zykov · Сообщение **zykov** » 07 авг 2012, 00:19

Ellipsoid писал(а):Source of the post
bot писал(а):Source of the post
А не докажете. Возьмите $x_n=-3+5\cos \pi n + \alpha_n$ , где $\alpha_n$ - любая бесконечно малая.

$\displaystyle x_n>0$

Если $\displaystyle x_n>0$ , то $x_n=f^{-1}(y_n)$ , где функция непрерывна, а $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}y_n=16$ .

Ellipsoid · Сообщение **Ellipsoid** » 07 авг 2012, 07:18

При чём здесь непрерывность? Речь идёт о числовых последовательностях.

zykov · Сообщение **zykov** » 07 авг 2012, 08:53

Ellipsoid писал(а):Source of the post
При чём здесь непрерывность? Речь идёт о числовых последовательностях.

Из того что $f^{-1}(y)$ непрерывна в $$y=16$$

, и из того что $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}y_n=16$ , следует что $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}x_n=\lim_{n\to+\infty}f^{-1}(y_n)=f^{-1}(16)=2$ .

yourdomain.com