Выпуклость vs. вогнутость

Evilution · Сообщение **Evilution** » 30 июн 2012, 11:13

Здравствуйте.

В университете всегда преподавали, что функция, такая что $f(w \cdot a + (1-w) \cdot b) \ge w \cdot f(a) + (1-w) \cdot f(b)$ , называется выпуклой.

В принципе это логично, всегда думал я, так как естественно считать "выпуклым" то, что "растет" от некой плоскости, от основы что-ли. Мы вроде и по земле ходим, смотрим вверх, и выпуклое для нас то, что торчит вверх. Выпуклость может быть и "на потолке", но все равно растет эта выпуклость от основы, от некоторой плоскости.

Однако заметил, что в английской литературе, да и в многих русских источниках, выпуклой называют функцию $f(w \cdot a + (1-w) \cdot b) \le w \cdot f(a) + (1-w) \cdot f(b)$ . Хотя, казалось бы, ее логично считать вогнутой. Если мы сто-то вгибаем, то обычно воображение рисует что-то, вгибаемое вниз, но не вверх. "Вогнутый" ассоциируется скорее с негативной динамикой, тогда как "выпуклый" - с позитивной.

Хотя с множествами же все логично, выпуклые - они и есть выпуклые. Есть вообще какие-то основания называть зрительно вогнутую функцию выпуклой, и наоборот? Может юыть, математические, или здравого смысла?

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 30 июн 2012, 13:38

Evilution писал(а):Source of the post
Хотя с множествами же все логично, выпуклые - они и есть выпуклые. Есть вообще какие-то основания называть зрительно вогнутую функцию выпуклой, и наоборот? Может юыть, математические, или здравого смысла?

Чаще говорят о выпуклости вверх и выпуклости вниз (аналог вогнутости).

Ian · Сообщение **Ian** » 30 июн 2012, 16:42

С этой бедой уже десятки лет живем и договориться не можем, другим наукам на смех. По умолчанию определения смотрят по Википедии, в ней в данный момент нет национального различия

is called convex (or convex downward or concave upward) if the graph of the function lies below the line segment joining any two points of the graph.

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

но есть различия со здравым смыслом ТСа.
В учебниках на любом языке такой же бардак.Примерно пополам и таких и противоположных определений.(convex upward or concave downward )
Препы тоже пополам разделились в этом термине (данные примерно по 200 препам высш.мат. практикующим в русскоязычных вузах). Если мне надо исследовать на выпуклость функцию одной переменной а я не знаю кто это будет читать, просто устанавливаю знак 2й производной, а дальше пишу см. график.Это последние 5 лет так придумал, а то страдал незачетами.
Могу только предложить на данном форуме без уточнения термин выпуклая- вогнутая не применять

mihailm · Сообщение **mihailm** » 30 июн 2012, 17:15

Все что выше написал Ian верно
Хотя чуть чаще выпуклой называют функцию выпуклую вниз

Evilution · Сообщение **Evilution** » 30 июн 2012, 18:41

Спасибо за ответы. Странно конечно, что холм у нас некоторые считают вогнутостью, а впадину - выпуклостью. Но, как я понял, никаких математических оснований называть холмы когнутостями не существует?

Ian · Сообщение **Ian** » 30 июн 2012, 19:22

На мехмате нас учили f''<0 выпукла, f''>0 вогнута (выпукла вниз), я скорей на этой был стороне, а уж потом насмотрелся всякого.Например, если этот холм ниже оси, то уже не так очевидно как назвать. Или расположите двояковыпуклую линзу горизонтально и посмотрите сбоку. То, что Вы увидите, не напомнит ни две выпуклые, ни две вогнутые функции. А физики так называют эту линзу и ниче живут:)

Dragon27 · Сообщение **Dragon27** » 30 июн 2012, 20:22

Ian, тут идёт, наверное, от интуитивного понимания того, где у функции на графике расположена "внутренность" (как у геометрической фигуры). Например, график обычной параболы $$x^2$$

мне хочется назвать выпуклым, так же как и график $$1/(1+x^2)$$

(в нулевой точке по абсциссе), хотя первая функция выпукла вниз, а вторая - вверх.

folk · Сообщение **folk** » 30 июн 2012, 22:38

Холм выпукл для тех кто на земле, а для шахтеров добывающих уголь лежа в шахте он скорее вогнут

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 01 июл 2012, 05:41

folk писал(а):Source of the post
Холм выпукл для тех кто на земле, а для шахтеров добывающих уголь лежа в шахте он скорее вогнут

Поскольку выпуклость и вогнутость, как видно, относительные понятия и даже здесь на форуме нам договориться не удалось, то предлагаю все таки говорить о выпуклости вверх и вниз. Хотя чувствую, что мне ответят, что верх и низ тоже относительные понятия!

Evilution · Сообщение **Evilution** » 01 июл 2012, 06:58

Dragon27 писал(а):Source of the post
Например, график обычной параболы мне хочется назвать выпуклым

Это весьма странно Dragon27, ведь по определению параболы это есть бесконечная прямая, вогнутая так, что все ее точки лежат на одинаковом расстоянии от фокуса до директрисы.

vicvolf писал(а):Source of the post
предлагаю все таки говорить о выпуклости вверх и вниз

Предлагаю начать борьбу против вогнутых холмов и выпуклых впадин!

yourdomain.com