Оптимальное решение

[ansm10]

Уважаемые математики!

Задача. Скорость течения реки 5 км/ч, ширина равна 80 м, гребец в лодке развивает скорость 3 км/ч относительно воды. Гребец переправляется через реку, направив лодку перпендикулярно берегу. Как направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше и чтобы было затрачено как можно меньше времени на переправу?

Решение. Выразим время: . Выразим путь: . Найдем их произведение , где , и исследуем функцию на минимум, используя обычные методы дифференциального исчисления.

Первоначальную формулировку задачи я взял из учебника. Но там она была поставлена просто: "...чтобы ее снесло течением как можно меньше." Я же ее усложнил и добавил: "...и чтобы было затрачено как можно меньше времени на переправу."

Правильно ли я подошел к ее решению, умножим время на путь? У меня было два варианта: рассмотреть сумму или произведение. Я выбрал последнее, потому что складывать время и путь как-то неправильно. Как, вообще говоря, обосновать произведение (если, вообще говоря, нужно использовать произведение)?

[vicvolf]

Время переправы во всех случаях одинаково, так как определяется частным от деления ширины реки на вертикальную составляющую скорости гребца. Правда за это время гребца снесет течением на расстояние равное скорости реки на найденное выше время. Поэтому в учебнике формулировка правильная, а у Вас, к сожалению, нет.

[kiv]

Да и в любом случае такая формулировка некорректна. Представим, что есть два решения - снос 0, время час, и снос километр, время - 2 минуты.

Какое из них отвечает вашему "и снос минимален, и время минимально"?

[Swetlana]

Добавив второй критерий, вы перевели задачу в разряд задач многокритериальной оптимизации, там нет одного оптимального решения, а есть множество Парето-оптимальных решений, часто бесконечное)

[Andrew58]

Source of the post
Как направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше и чтобы было затрачено как можно меньше времени на переправу?

Задача станет интереснее и приобретет практический смысл, если добавить еще скорость, с которой переправившийся бредет по берегу и тащит лодку к точке, которая напротив через речку от точки старта А в Вашей формулировке надо бы определить оператор и ...

[vvvv]

Можно решить задачу так. См.картинку

[ansm10]

Source of the post
Да и в любом случае такая формулировка некорректна. Представим, что есть два решения - снос 0, время час, и снос километр, время - 2 минуты.

Какое из них отвечает вашему "и снос минимален, и время минимально"?

Вообще-то... да:).

(Если только определить как-то сущность оператора "и", как сказал Andrew58.)

[vicvolf]

Source of the post
(Если только определить как-то сущность оператора "и", как сказал Andrew58.)

Критерий оптимальности для многокритериальных задач, что Вы попытались сделать, совсем другая песня. В общем случае не может быть оптимальным решение даже по двум, а тем более большему числу критериев. Поэтому решение многокритериальной задачи является компромиссным.

[Swetlana]

Самый простой выход - интегральный критерий. Решите, что вам дороже - время или расстояние, назначьте весовые коэффициенты (в сумме дающие 1) каждому критерию и минимизируйте взвешенную сумму.

[vicvolf]

Source of the post
Самый простой выход - интегральный критерий. Решите, что вам дороже - время или расстояние, назначьте весовые коэффициенты (в сумме дающие 1) каждому критерию и минимизируйте взвешенную сумму.

Если в многокритериальной задаче один критерий обращается в максимум. а другой в минимум, то целевую функцию часто ищут в виде частного критериев и.т.д. Обоснование целевой функции многокритериальной задачи - отельная проблема.