Интегралы

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 17 апр 2012, 07:48

kohek писал(а):Source of the post
Проверьте, пожалуйста, правильно ли я решил ДУ :

У меня получился такой ответ:

$y = -3e^{-2/x}$

Но в книге в ответах вот такой ответ :

$y = 3(1 - 3e^{-1/x})$

При таком ответе обязательно должны быть начальные условия $$y(0)=3$$

kohek · Сообщение **kohek** » 17 апр 2012, 17:20

Да, я не увидел что там начальные условие есть..
Извините

Ромашка 7

Здравствуйте! Уже замучался с этими задачками!

1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=e^x - 1, y=e^2x - 3, x=0.

Нахожу площадь вот так:

$S = \int_{0}^{?}{(e^x - e^2x + 2)dt}$

но верхний предел интегрирования найти не могу - для его нахождения нужна координата по X пересечиния двух функций: для этого приравниваю e^x - 1 = e^2x - 3 = 0
и как отсюда выразить "х" ?

2) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = ln(x+2). y = 2lnx, y = 0.
Как лучше пойти тут? Я пробывал находид две площади ( большую и малый кусок), откуда находил искомую площадть, но так не сходиться с ответом.

3) Найти длинну дуги кривой

$y = \frac {2} {pi}lnsin\frac {pi*x} {2}$
от x = 1/2 до y = 3/2
Тоже не сходиться с ответом. Думаю что дело в том, что я не правильно взял производную
Как она будеит выглядить?

Ромашка 7

Ромашка 7 писал(а):Source of the post
Здравствуйте! Уже замучался с этими задачками!

1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=e^x - 1, y=e^2x - 3, x=0.

Нахожу площадь вот так:

$S = \int_{0}^{?}{(e^x - e^2x + 2)dt}$

но верхний предел интегрирования найти не могу - для его нахождения нужна координата по X пересечиния двух функций: для этого приравниваю e^x - 1 = e^2x - 3 = 0
и как отсюда выразить "х" ?

2) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = ln(x+2). y = 2lnx, y = 0.
Как лучше пойти тут? Я пробывал находид две площади ( большую и малый кусок), откуда находил искомую площадть, но так не сходиться с ответом.

3) Найти длинну дуги кривой

$y = \frac {2} {pi}lnsin\frac {pi*x} {2}$
от x = 1/2 до y = 3/2
Тоже не сходиться с ответом. Думаю что дело в том, что я не правильно взял производную
Как она будеит выглядить?

В первом задании - e в степени 2х

Hellko · Сообщение **Hellko** » 18 апр 2012, 11:44

e^x - 1 = e^2x - 3 = 0

вы определитесь либо приравниеваете 2 экспоненты друг другу и ищите точку пересечения. либо ищите точку пересечения с осью ОХ (приравнивание нулю)
решение для
$e^x-1=e^{2x}-3$
$$e^x=t$$

квадратные уравнения решать умеете?

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 18 апр 2012, 14:12

Надо сначала найти координату $$x_1$$

точки пересечения экспонент, как Вам уже написали, и подсчитать интеграл:
$I_1=\int_{0}^{x_1}{(e^x-1)dx}$ .
Затем определить координату $$x_2$$

точки пересечения $e^{2x}-3$ с прямой у=0 и найти интеграл:
$I_2=\int_{x_2}^{x_1}{(e^{2x}-3)dx}$ . Площадь равна $$S=I_1-I_2$$

.
В будущем заводите свою тему, а не используйте чужую!

Ромашка 7

Hellko писал(а):Source of the post
e^x - 1 = e^2x - 3 = 0

вы определитесь либо приравниеваете 2 экспоненты друг другу и ищите точку пересечения. либо ищите точку пересечения с осью ОХ (приравнивание нулю)
решение для
$e^x-1=e^{2x}-3$

квадратные уравнения решать умеете?

Да уравненияя то решать умею. И пробывал так - найду два корня - первй отрицательный, второй - t=2.
Далее делаю обратнуюю замену: t = e^x - и как отсюда взять искомый x?

Hellko · Сообщение **Hellko** » 18 апр 2012, 16:17

Ромашка 7 писал(а):Source of the post
Да уравненияя то решать умею. И пробывал так - найду два корня - первй отрицательный, второй - t=2.
Далее делаю обратнуюю замену: t = e^x - и как отсюда взять искомый x?

:blink:

Ромашка 7

Ромашка 7 писал(а):Source of the post
Ромашка 7 писал(а):Source of the post
Здравствуйте! Уже замучался с этими задачками!

1) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=e^x - 1, y=e^2x - 3, x=0.

Нахожу площадь вот так:

$S = \int_{0}^{?}{(e^x - e^2x + 2)dt}$

но верхний предел интегрирования найти не могу - для его нахождения нужна координата по X пересечиния двух функций: для этого приравниваю e^x - 1 = e^2x - 3 = 0
и как отсюда выразить "х" ?

2) Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = ln(x+2). y = 2lnx, y = 0.
Как лучше пойти тут? Я пробывал находид две площади ( большую и малый кусок), откуда находил искомую площадть, но так не сходиться с ответом.

3) Найти длинну дуги кривой

$y = \frac {2} {pi}lnsin\frac {pi*x} {2}$
от x = 1/2 до y = 3/2
Тоже не сходиться с ответом. Думаю что дело в том, что я не правильно взял производную
Как она будеит выглядить?

В первом задании - e в степени 2х

Со вторым заданием разобрался. Всё получилось.
А вот что с другими двумя - не понятно

Ромашка 7

Hellko писал(а):Source of the post
Ромашка 7 писал(а):Source of the post
Да уравненияя то решать умею. И пробывал так - найду два корня - первй отрицательный, второй - t=2.
Далее делаю обратнуюю замену: t = e^x - и как отсюда взять искомый x?

:blink:

$\ln(e^x)=\ln2$
$x=\ln2$

Аааа..точно..Спасибо большое!

Не подскажите ещё вот что - производную от y в 3-ем задании правильно ли я взял:

$\frac {2} {pi}*\frac {1} {sin(pi*x/2)}* cos(pi*x/2)$

yourdomain.com