приложения к интегралам

Doberman · Сообщение **Doberman** » 11 апр 2012, 13:18

Привет всем, возник вопрос по решению задач:
Найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^2+y^2+z^2=2\sqrt{x^2+z^2}$ . Идея взять
$\sqrt{x^2+z^2}$ за сечение и как-нибудь там преобразовать, но что-то никак не выходит. МОжет быть помог рисунок, но альфа что-то не хочет строить либо я не умею.
Второе найти площадь поверхности:
$$y^2+z^2=8x$$

(

). Здесь совсем просто, но что-то решить тоже не могу. Если прикинуть получается трехмерная плоскость слева, ну и вращение по х, ну или как-то так.
Жду помощи.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 11 апр 2012, 14:45

Используйте полярные и сферические координаты, пробуйте.

Doberman · Сообщение **Doberman** » 11 апр 2012, 15:07

Сферические использовать нельзя, так как не проходили. Про полярные не очень понял, у нас же 3мерная система.
Кст, вроде с объемами тронулся. Свел к $(\sqrt{x^2+z^2}-1)^2+y^2=1$ уравнение окружности, но что-то не то.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 11 апр 2012, 16:57

Doberman писал(а):Source of the post
Сферические использовать нельзя, так как не проходили. Про полярные не очень понял, у нас же 3мерная система.

Имелось ввиду, конечно, цилиндрические координаты

Ian · Сообщение **Ian** » 11 апр 2012, 16:58

Doberman писал(а):Source of the post $x^2+y^2+z^2=2\sqrt{x^2+z^2}$ .

Это тор с нулевым диаметром дырки, насаженный на ось у.
замена
$\displaystyle \\x=r\cos\phi\\z=r\sin\phi$
Как верно начато, $\displaystyle (r-1)^2+y^2\le 1$ Дальше проще всего найти как объем тела вращения этого вот круга вокруг оси у, прямо r через у выразить. Ну или тороидальные координаты переоткрыть

Doberman · Сообщение **Doberman** » 11 апр 2012, 17:19

Спасибо, а как тогда пределы интегрирования определить? И да, что такое тор с нулевым диаметром дырки, это же сфера какая-то.

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 11 апр 2012, 18:59

Doberman писал(а):Source of the post
Найти объем тела, ограниченного поверхностями $x^2+y^2+z^2=2\sqrt{x^2+z^2}$ . Идея взять
$\sqrt{x^2+z^2}$ за сечение и как-нибудь там преобразовать, но что-то никак не выходит.

Эта поверхность получена вращением кривой $$x^2+y^2=2x$$

, которую можно переписать в виде $$(x-1)^2+y^2=1$$

вокруг оси $$Oy$$

Нарисуйте, и поймете про тор с нулевой дыркой). Осталось вспомнить формулу для объема тела вращения.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 11 апр 2012, 20:03

Hottabych писал(а):Source of the post
Doberman писал(а):Source of the post Сферические использовать нельзя, так как не проходили. Про полярные не очень понял, у нас же 3мерная система.
Имелось ввиду, конечно, цилиндрические координаты

Радует тот факт, что композиция 2-х переходов к цилиндрическим координатам в целом означает переход к сферическим координатам Или я неправ? :blink:

vvvv · Сообщение **vvvv** » 12 апр 2012, 17:34

По теореме Гюльдена объем считается в уме - 2*pi^2

Doberman · Сообщение **Doberman** » 16 май 2012, 17:18

Уже несколько раз пытался сдать преподавателю это задание, каждый раз говорит, чтобы подумал. У нас получается в сечении окружность, котоую вращают вокруг оси oy, верно. Ну тогда считаем $r=\sqrt{1-y^2}+1$ , $V=\pi \int r^2 dy$ , Если я правильно понял, то должно получится что-то красивое, на один пост выше сказали, что должно получится $2\pi^2$ , ну я даже зная ответ, не могу подобрать пределы интегрирования, чтоб такое получилось. Есть шанс, что я начинаю бредить, поправьте, где я неправ

yourdomain.com