Задача на составление диф. уравнения

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 07 апр 2012, 13:16

Три черепахи А, В и С в начальный момент времени расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а и начинают движение с постоянной скоростью V каждая по направлению к черепахе, находящейся справа, сохраняя направление движения на эту черепаху. Составить дифференциальное уравнение траектории черепахи А.

Не то, чтобы у меня не было никаких мыслей, но они не приводят к адекватным результатам. К тому же нету ответа для задачи от составителя.

Поэтому прошу ваших рекомендаций по решению.

Ian · Сообщение **Ian** » 07 апр 2012, 13:23

Будет легко в полярных координатах с центром в центре начального треугольника.Тогда в каждый момент они тоже в вершинах равностороннего, из симметрии, и вектор скорости образует угол 150 град. с радиус вектором.
И судя по ответу, в иных координатах будет нелегко.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 апр 2012, 13:35

Разложите вектор скорости на две составляющие: радиальную и тангенциальную. Одна даст скорость изменения расстояния черепахи до центра 3-ка, другая - скорость вращения. Исключить потом время из этих двух соотношений не составляет труда.

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 07 апр 2012, 15:05

Думал, думал... Нет - полное отсутствие опыта решения подобных задач (даже с вашими подсказками) не позволяет достичь нужного результата.

Помимо прочего к задаче прилагается рисунок:

Думаю, имеется ввиду работа именно с декартовой системой, а не полярной.

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 апр 2012, 16:01

Freeman-des писал(а):Source of the post

Думаю, имеется ввиду работа именно с декартовой системой, а не полярной.

Не стоит усложнять себе задачу.
Кстати, рисунок не очень хороший, там 3-к равнобедренный, но явно не равносторонний.

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 07 апр 2012, 16:04

Извините. Рисовал, старался.

Просто я не уверен, что при работе с полярной системой там получатся производные.
А ведь главная задаче - не траектория, а диффура, т.к. это из соответствующего задачника.

Ian · Сообщение **Ian** » 07 апр 2012, 17:42

Freeman-des писал(а):Source of the post Просто я не уверен, что при работе с полярной системой там получатся производные.

Аяяй. Дифуры (системы) первого порядка переводятся из декартовой в криволинейную всегда, просто на матрицу Якоби умножаются
Показываю.
Мы с Алексом имели в виду систему (ну или дифур отдвухкомпонентного вектора $(r(t),\,\varphi (t))$ )
$\displaystyle \\\dot r=-v\frac{\sqrt 3}2\\\dot\varphi =\frac v{2r}$
Дифференцируем формулы перехода от декартовых к полярным
$\displaystyle \\dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi =-v\frac{x\sqrt 3+y}{2\sqrt{x^2+y^2}}dt\\dy=\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi =-v\frac{y\sqrt 3-x}{2\sqrt{x^2+y^2}}dt$ вот и система дифуров
А получится спираль конечной длины и бесконечного числа оборотов, жалко животных:(

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 07 апр 2012, 17:46

Freeman-des писал(а):Source of the post

Просто я не уверен, что при работе с полярной системой там получатся производные.

А Вы попробуйте. Вот чему, например равно $\frac{dR}{dt}$ - производная по времени расстояния от черепашки до центра 3-ка, если известен модуль её скорости и её направление?

Ian решил не тянуть кота за хвост.

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 09 апр 2012, 15:48

Человек и собака находятся в начальный момент времени в точках А и В на расстоянии L друг от друга. Человек уходит от собаки со скоростью V по дороге, перпендикулярной к отрезку AB, а собака бежит по направлению к человеку со скоростью 2V. Составить ОДУ траектории собаки.

Видимо, в этой задаче также нужно к криволинейным перейти. Полагаю, что скорость собаки будет скоростью изменения радиус-вектора, а проекция скорости человека будет характеризовать изменение угла.

$\frac {d r} {d t}=2V$

$\frac {d \phi} {d t}=\frac {V} {r}Cos(\phi)$

Но что дальше?

И уточняющий вопрос по первому примеру. Мы же должны проинтегрировать два первых равенства, чтобы подставить значения угла и радиуса в последующие формулы? А куда константы деваются?

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 09 апр 2012, 17:13

У меня получается $\frac{dy}{dx}=\frac{Vt-y(t)}{L-x(t)}, {x'}^2+{y'}^2=4V^2, x(0)=y(0)=0$

yourdomain.com