Ряд Лорана

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 26 янв 2012, 12:36

Начал изучать тему Разложение в ряд Лорана. Нужна помощь.

Ф-я:
$f(x)=(\frac {1} {z-1}-\frac {1} {z+2})$

Причем:
$$1<|z+2|<3$$

Первое слагаемое я разложил в ряд Тейлора. Я так понимаю, второе слагаемое нужно разложить в ряд по отрицательным степеням. Но не знаю, как это сделать в данном случае. Помогите, пожалуйста.

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 26 янв 2012, 12:42

Обычно пишут переменную $$z$$

.
Используйте преобразование $\frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z} \frac{1}{1-\frac{1}{z}}$ и раскладывайте 2-е слагаемое в ряд относительно $\frac{1}{z}$ . Его нужно запомнить - оно стандартно в таких задачах.

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 26 янв 2012, 12:46

Я уже исправил. Привык к матану.

Да, я знаю это преобразование. Но тут у нас нужно разложить в окрестности точки -2, как видно из неравенства. Т.е. в знаменателе должно быть z+2. Как это получить?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 26 янв 2012, 12:50

А, блин, да, ну тогда $\frac{1}{1-z}=\frac{1}{3-(z+2)}$ , а дальше раскладываете в ряд Тейлора относительно $$(z+2)$$

.
Предыдущее мое сообщение значит к решению вообще отношения не имеет

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 26 янв 2012, 12:56

Но у нас-то ф-я не $\frac {1} {1-z}$ , а $\frac {1} {z+2}$

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 26 янв 2012, 13:04

Не понял, вообще-то у нас функция $f(x)=(\frac {1} {z-1}-\frac {1} {z+2})$ .
Что Вы имели ввиду?
Вам надо разложить $\frac{1}{a-w}$ по положительным степеням $$w$$

. Сделайте это.

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 26 янв 2012, 13:09

А по отрицательным? Просто я не до конца понимаю это разложение.

СергейП

Проще всего сделать замену $$t=z+2$$

, т.е.

, получаем

$f(t)=\frac {1} {t-3}-\frac 1t = -\frac 13 \frac {1} {1- \frac t3} -\frac 1t$ .

Заданный интервал $$1<|t|<3$$

, тогда $\frac t3 < 1$ и $\frac {1} {1- \frac t3}$ можно расписать как сумму геометрической прогрессии.
После этого останется провести обратную замену и всё

Freeman-des · Сообщение **Freeman-des** » 26 янв 2012, 13:42

А со вторым слагаемым что?

Ряд Лорана это сумма Тейлора и ряда по отрицательным степеням. Я вижу только тогда Тейлора здесь.

СергейП

Freeman-des писал(а):Source of the post А со вторым слагаемым что?

Ряд Лорана это сумма Тейлора и ряда по отрицательным степеням. Я вижу только тогда Тейлора здесь.

Какой второй?
Это 1/t? Так это уже разложено в ряд, с ним ничего делать не надо.

yourdomain.com