интеграл второго рода

2730 · Сообщение **2730** » 30 окт 2011, 17:03

нужно вычислить поверхностный интеграл второго рода.
$\int \int_{S} y^2zdxdy+xzdydz+x^2ydxdz$ , где S- часть поверхности параболоида
$$z=x^2+y^2$$

(нормальный вектор n которой образует тупой угол с ортом k),вырезаемая цилиндром $$x^2+y^2=1$$

Подскажите пожалуйста с чего начать. У меня есть предположения что нужно представить этот поверх.интеграл в виде сумы трех интегралов.

$,I=\int \int_{S} y^2zdxdy+xzdydz+x^2dxdz=I_1+I_2+I_3$ ,
и вычислить последовательно $$I_1+I_2+I_3$$

$I_1=\int \int_{S}y^2zdxdy$
$I_2=\int \int_{S}xzdydz$
$I_3=\int \int_{S}x^2ydxdz$

Правильно ли мое предположения или нет, подскажите пожалуйста. Заранее спасибо.

Ian · Сообщение **Ian** » 30 окт 2011, 17:25

Все-таки в этом конкретном быстрее через $I=\iint (F,n)dS$ , находите (не единичный) нормальный вектор N = $\frac{\d z}{\d x}, \frac{\d z}{\d y},-1$ , тогда $$dS=|N|dxdy$$

, а $n=\frac N{|N|}$ можно не находить, т.к. в этом случае
$I=\iint (F,N)dxdy$ остается посчитать двойной интеграл

2730 · Сообщение **2730** » 30 окт 2011, 19:13

А по другому способу как то нельзя решить. Бо не очень понятно мне.

Ian · Сообщение **Ian** » 30 окт 2011, 20:08

2730 писал(а):Source of the post
А по другому способу как то нельзя решить. Бо не очень понятно мне.

Пожалуйста, заменяйте z через x,y, а $$dz=2xdx+2ydy$$

повсюду. Только не берусь объяснить почему тут $$(2xdx+2ydy)dy=2xdxdy$$

без тензорного анализа и внешних форм, все же должно быть не просто верно, а доказано.
И потом с ориентацией такой бардак начнется...

yourdomain.com