Сложный несобственный интеграл

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 22 окт 2011, 20:42

Есть интеграл следующего вида:

[url=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/m...7d6d3e700a4.png]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/m...7d6d3e700a4.png[/url]
$Изображение$

К сожалению, не смог найти материалов, которые бы как-то раскрыли данное решение.
Ни книг, ни учебников.

Подскажите, пожалуйста, как с ним быть.
Нужно получить решение для произвольного числа S. Оно может быть и приблизительным.

Заранее очень благодарен.
Я вот нашел решение частного случая при S = 4, а получить для произвольного числа - не получается.

[url=http://dssp.petrsu.ru/files/tutorial/ftt/P...es/image267.gif]http://dssp.petrsu.ru/files/tutorial/ftt/P...es/image267.gif[/url]

Ian · Сообщение **Ian** » 22 окт 2011, 21:07

А и в общем случае так же.
$\displaystyle \\\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}dx}{e^x-1}=\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}e^{-x}dx}{1-e^{-x}}=\sum_{k=1}^{\infty}\int_0^{\infty}x^{s-1}e^{-kx}dx=(y:=kx)=\\=\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\int_0^{\infty}y^{s-1}e^{-y}dy=\Gamma(s)\zeta (s)$

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 22 окт 2011, 21:19

Огромное спасибо!

Вообще говоря, у меня есть следующее выражение, в котором этот интеграл присутствует.

$X = aT(\frac {T} {\theta})^{r+1} \int_{0}^{\frac {\theta} {T}}{\frac {x^{r+1}}{e^x - 1} dx$

a, r - константы
И происходит устремление отношения
$\frac {\theta} {T}$ -> к бесконечности

Я сначала думал рассмотреть интеграл отдельно, но это, к сожалению, не привело к упрощению формулы... Можете посоветовать, как упростить данную формулу?

Ian · Сообщение **Ian** » 22 окт 2011, 21:37

Rimescald писал(а):Source of the post
$X = aT(\frac {T} {\theta})^{r+1} \int_{0}^{\frac {\theta} {T}}{\frac {x^{r+1}}{e^x - 1} dx$

Выражения $f_s(t)=t^{-s}\Gamma(s)$ хороши тем, что $f_s'=-f_{s-1}$
Но тут еще дзета сомножителем

Rimescald · Сообщение **Rimescald** » 25 окт 2011, 21:04

Да, непростое уравнение. И решать его можно, похоже, только численными методами, подставляя конкретные значения r (если, конечно, r не равно -1 ).

Спасибо за помощь!

yourdomain.com