задача, ОДУ

Kirgudu · Сообщение **Kirgudu** » 19 окт 2011, 17:21

Пожалуйста, объясните как решать задачу!

Условие:
Некое химическое соединение С образуется из химических соединений А и B, при чем для образования 1 кг соединения С нужно 2 кг соединения B и 2 кг соединения А.
Скорость образования соединения С пропорциональна произведению оставшегося количества соединения А и оставшегося количества соединения B.
Если мы знаем, что через 5 минут смесь из 10 кг соединения А и 8 кг соединения B содержит 1 кг соединения С, то сколько будет (кг) соединений А, B и С в смеси через 10 минут.

Начало моего решения:
пусть y(t)=количество соединения С в момент t
по условию знаем, что для образования 1 кг соединения С нужно 2 кг соединения B и 2 кг соединения А, тогда в момент t израсходовали 2*y(t) соединия А и столько же B.
тогда если принять, что в начале у нас было a и b кг соединий А и B, тогда уравнение имеет вид
y(t)=K(a-2*y(t) )(b-2*y(t) ) К-коеф. пропорциональности

Подскажите, правильно ли мое решение. Или может быть можно как-то проще все это записать?

Ian · Сообщение **Ian** » 19 окт 2011, 17:27

Kirgudu писал(а):Source of the post
тогда если принять, что в начале у нас было a и b кг соединий А и B, тогда уравнение имеет вид
y'(t)=K(a-2*y(t) )(b-2*y(t) )

Вроде все правильно. тогда это уравнение Риккати, решаемое

Kirgudu · Сообщение **Kirgudu** » 19 окт 2011, 17:34

Ian писал(а):Source of the post
Kirgudu писал(а):Source of the post
тогда если принять, что в начале у нас было a и b кг соединий А и B, тогда уравнение имеет вид
y'(t)=K(a-2*y(t) )(b-2*y(t) )
Вроде все правильно. тогда это уравнение Риккати, решаемое

Спасибо за ответ!
Да, уравнение решаемое. Только вот может быть существует другое решение? Скажем приводящее к линейному уравнению. ( Просто эта задача дана до того, как изучается уравнение Риккати )

Может быть какая-нибудь система несложных уравнений. Я не знаю... Мне человеку нужно объяснить как это чудо решать, а я сама разобраться не могу...

V.V. · Сообщение **V.V.** » 19 окт 2011, 20:27

Уравнение с разделяющимися переменными.

Ian · Сообщение **Ian** » 19 окт 2011, 20:41

V.V. писал(а):Source of the post
Уравнение с разделяющимися переменными.

воистину

Kirgudu · Сообщение **Kirgudu** » 19 окт 2011, 20:53

Ian писал(а):Source of the post
V.V. писал(а):Source of the post
Уравнение с разделяющимися переменными.
воистину

Да, действительно Все оказалось значительно проще... спасибо за помощь всем!

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 20 окт 2011, 08:32

Похоже, что диф. ур-ие составлено верно и действительно является уравнением с разделяющимеся переменными. При его интегрирование с одной стороны будет интеграл от рациональной дроби, которую надо разложить на простейшие. Посмотрите здесь [url=http://www.cleverstudents.ru/partial_fraction_expansion.html]http://www.cleverstudents.ru/partial_fraction_expansion.html[/url]

Kirgudu · Сообщение **Kirgudu** » 20 окт 2011, 20:20

vicvolf писал(а):Source of the post
Похоже, что диф. ур-ие составлено верно и действительно является уравнением с разделяющимеся переменными. При его интегрирование с одной стороны будет интеграл от рациональной дроби, которую надо разложить на простейшие.

Да, спасибо за информацию.
Только здесь все гораздо проще.
В условии задачи сказано: "Если мы знаем, что через 5 минут смесь из 10 кг соединения А и 8 кг соединения B содержит 1 кг соединения С, то сколько будет (кг) соединений А, B и С в смеси через 10 минут."
Т.е. вместо а и b сразу подставляем 10 и 8 соответственно. И в итоге получаем интеграл, который можно привести к виду
$\int{\frac {dx} {x^2-a^2}}$
и для вычисления которого существует формула.

yourdomain.com