Равномерная сходимость

Dakota · Сообщение **Dakota** » 29 авг 2011, 10:47

$\psi\in \Large C^{(2)}(\mathbb R \math^3)$
$t\ge0$
$z \in \mathbb R \math^3$
$$|z|=1$$

Объясните, пожалуйста, почему $\psi(x+zt)$ равномерно сходится к $\psi(x)$ при $t \to 0$ ?

Ian · Сообщение **Ian** » 29 авг 2011, 11:26

Dakota писал(а):Source of the post
$\psi\in \Large C^{(2)}(\mathbb R \math^3)$
$t\ge0$
$z \in \mathbb R \math^3$

Объясните, пожалуйста, почему $\psi(x+zt)$ равномерно сходится к $\psi(x)$ при $t \to 0$ ?

Что равномерно по $x\in\mathbb R^3$ -это неверно, примером может служить хотя бы $\psi(x)=|x|^2$
А вот равномерно по $$z,|z|=1$$

при фиксированном х - это верно. Но вопрос поставлен так, что вроде не это имелось в виду.

Dakota · Сообщение **Dakota** » 29 авг 2011, 12:02

Ian писал(а):Source of the post
Dakota писал(а):Source of the post
$\psi\in \Large C^{(2)}(\mathbb R \math^3)$
$t\ge0$
$z \in \mathbb R \math^3$

Объясните, пожалуйста, почему $\psi(x+zt)$ равномерно сходится к $\psi(x)$ при $t \to 0$ ?
Что равномерно по $x\in\mathbb R^3$ -это неверно, примером может служить хотя бы $\psi(x)=|x|^2$
А вот равномерно по при фиксированном х - это верно. Но вопрос поставлен так, что вроде не это имелось в виду.

равномерная сходимость по $$x$$

на компакте

Ian · Сообщение **Ian** » 29 авг 2011, 12:46

Dakota писал(а):Source of the post
равномерная сходимость по на компакте

Тогда верно и хватит однократной непрерывной дифференцируемости.
Пусть $$K_1$$

-замкнутая 1-окрестность компакта K, тоже компакт
$M:=\sup_{K_1}(|\frac{\d\psi}{\d x_i}|,i=1,2,3)$ ,
тогда $|\psi(x+zt)-\psi(x)|\leqslant |t|M\sum |z_i|<3|t|M$ при $$|t|<1$$

Dakota · Сообщение **Dakota** » 29 авг 2011, 18:33

Ian писал(а):Source of the post
Dakota писал(а):Source of the post
равномерная сходимость по на компакте
Тогда верно и хватит однократной непрерывной дифференцируемости.
Пусть -замкнутая 1-окрестность компакта K, тоже компакт
$M:=\sup_{K_1}(|\frac{\d\psi}{\d x_i}|,i=1,2,3)$ ,
тогда $|\psi(x+zt)-\psi(x)|\leqslant |t|M\sum |z_i|<3|t|M$ при

далее нужно сказать:
$sup_K_1|\psi(x+zt)-\psi(x)|\to 0$ при $t \to 0$
и это равносильно равномерной сходимости, так?

можно узнать, что такое замкнутая 1-окрестность компакта K и как получается оценка модуля?

заранее спасибо

Ian · Сообщение **Ian** » 29 авг 2011, 19:06

Dakota писал(а):Source of the post
Ian писал(а):Source of the post
Dakota писал(а):Source of the post
равномерная сходимость по на компакте
Тогда верно и хватит однократной непрерывной дифференцируемости.
Пусть -замкнутая 1-окрестность компакта K, тоже компакт
$M:=\sup_{K_1}(|\frac{\d\psi}{\d x_i}|,i=1,2,3)$ ,
тогда $|\psi(x+zt)-\psi(x)|\leqslant |t|M\sum |z_i|<3|t|M$ при

далее нужно сказать:
$sup_K_1|\psi(x+zt)-\psi(x)|\to 0$ при $t \to 0$

Почти. х из К а не из $$K_1$$

и это равносильно равномерной сходимости, так?

да, по определению равномерной сходимости

можно узнать, что такое замкнутая 1-окрестность компакта K

Расстояние от $$y$$

до

$d(y,K):=\sup_{x\in K}|x-y|$ , а 1- окрестность $\bar U_1(K)=(y,d(y,K)\leqslant 1)$

и как получается оценка модуля?

она получается по-разному, смотря какие теоремы о среднем изучены в курсе многомерного анализа. В худшем случае: никакие:
$\displaystyle \\|\psi(x_1+z_1t,x_2+z_2t,x_3+z_3t)-\psi (x_1,x_2,x_3)|=|(\psi(x_1+z_1t,x_2+z_2t,x_3+z_3t)-\psi (x_1+z_1t,x_2+z_2t,x_3))+\\+(\psi(x_1+z_1t,x_2+z_2t,x_3)-\psi (x_1+z_1t,x_2,x_3))+(\psi(x_1+z_1t,x_2,x_3)-\psi (x_1,x_2,x_3))|=\\=|z_3t\psi_3 '(x_1+z_1t,x_2+z_2t,x_3+z_3\xi_3)+z_2t\psi_2 '(x_1+z_1t,x_2+z_2\xi_2,x_3)+z_1t\psi _1'(x_1+z_1\xi_1,x_2,x_3)|\leqslant...$
трижды применена теорема Лагранжа для функции одной переменной, а все три кси -некоторые числа от 0 до 1

Dakota · Сообщение **Dakota** » 30 авг 2011, 18:46

M	Не увлекайтесь цитированием! (это ко всем обращение)

A	Не увлекайтесь цитированием! (это ко всем обращение)

только кси - от 0 до t

Ian · Сообщение **Ian** » 30 авг 2011, 19:44

Dakota писал(а):Source of the post только кси - от 0 до t

о да. знал же что надо исправить и забыл.

yourdomain.com