Путаница с интегралом....

sidar · Сообщение **sidar** » 14 июн 2011, 16:24

Доброго времени суток!!!! Помогите пожалуйста разобраться: вычислить несобственный интеграл
$\int_{-\infty}^{+\infty}{e^-^x^{2}dx}$ использовав значение интеграла
$\int_{D}^{}\int{e^-^x^2*e^-^y^2 dxdy}$
взятого по области D:
$$x^2+y^2=R^2$$

ОТВЕТ в книжке - $\sqrt{pi}$

При решении исходили из следующего R изменяется от 0 до $\infty$ , а угол изменяется от 0 до 2*pi

$\int_{D}^{}\int{e^-^x^2*e^-^y^2 dxdy}=2*pi*\int_{0}^{\infty}{e^-^r^2rdr}=pi$

C другой стороны

$\int_{D}^{}\int{e^-^x^2*e^-^y^2 dxdy}=\int_{0}^{\infty}{e^-^x^2dx}*\int_{0}^{\infty}{e^-^y^2dy}$
тоесть извлекаем квадрат и получаем значение.

Но вот на мой взгляд такое решение неправильное: во-первых границы в несобственного интеграла от
$-\infty$ до $+\infty$ , а в двойного от 0 до $+\infty$

Помогите разобраться!!!! Заранее благодарен!!!!!!!

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 14 июн 2011, 16:30

неотрицательно, это же расстояние от точки до начала координат.

sidar · Сообщение **sidar** » 14 июн 2011, 16:38

bas0514 писал(а):Source of the post
неотрицательно, это же расстояние от точки до начала координат.

ну так я й определил в двойном интеграле как границы от 0 до $+\infty$

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 14 июн 2011, 16:58

А, теперь вижу. Вот здесь

sidar писал(а):Source of the post
$\int_{D}^{}\int{e^-^x^2*e^-^y^2 dxdy}=\int_{0}^{\infty}{e^-^x^2dx}*\int_{0}^{\infty}{e^-^y^2dy}$

должно быть в правой части тоже от $-\infty$ до $+\infty$ , видимо опечатка. Но ответ $\sqrt{\pi}$ правильный, это известный факт.

sidar · Сообщение **sidar** » 14 июн 2011, 17:04

Правую часть составляли самостоятельно. Я не пойму фразу в задании вычислить значение несобственного интеграла использовав значение двойного интеграла. Какая именно там связь????

venja · Сообщение **venja** » 14 июн 2011, 17:13

sidar писал(а):Source of the post
Я не пойму фразу в задании вычислить значение несобственного интеграла использовав значение двойного интеграла. Какая именно там связь????

А что тут непонятного? Соответствующий двойной интеграл (по всей плоскости) вычисляется аналитически переходом к полярной системе координат. С другой стороны, этот же двойной интеграл, при переходе в нем к повторным, оказывается равным квадрату исходного одномерного интеграла, который и надо было изначально вычислить.

sidar · Сообщение **sidar** » 14 июн 2011, 17:33

Ну тогда все ясно. Выходит интеграл решен правильно и именно таким способом как надо. Только нужно заменить $\int_{D}\int{e^-^x^2*e^-^y^2dS}=\int_{-\infty}^{+\infty}{e^-^x^2dx}*\int_{-\infty}^{+\infty}{e^-^y^2dy}$ так как x и y на плоскости соотвественно меняются от $-\infty$ до $+\infty$

yourdomain.com