Подскажите, берется ли интеграл аналитически?

Vector · Сообщение **Vector** » 12 июн 2011, 21:09

Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?

$\int_{t_1}^{t_2}(e^-\frac {x^2} {2c^2}) \frac {1} {1+e^-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}{dx}$

Спасибо!

SiO2 · Сообщение **SiO2** » 13 июн 2011, 00:05

Vector писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?

$\int_{t_1}^{t_2}(e^{-\frac {x^2} {2c^2}}) \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}}{dx}$

Спасибо!

Ну вроде бы можно разложить в ряд вида

$\sum_{n=1}^{\infty}{\int_{t_1}^{t_2}{A_n\frac {x^n} {ch(x)}dx}}$

Но это наверное не подойдет.

Ian · Сообщение **Ian** » 13 июн 2011, 06:25

Vector писал(а):Source of the post
$\int_{t_1}^{t_2}(e^{-\frac {x^2} {2c^2}}) \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx$

$\displaystyle \\=\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}dx-\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx=\\=c\sqrt {2\pi}(F(t_2/c)-F(t_1/c))-c\sqrt{2\pi}e^{-\frac{\pi a}{\sqrt 3}-\frac{\pi^2b^2c^2}6}(F(t_2+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3})-F(t_1+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3}))$
, где F функция распределения Гаусса, с точностью до $\sqrt 2$ в аргументе =erf

Vector · Сообщение **Vector** » 13 июн 2011, 08:06

Ian писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
$\int_{t_1}^{t_2}(e^{-\frac {x^2} {2c^2}}) \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx$
$\displaystyle \\=\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}dx-\int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx=\\=c\sqrt {2\pi}(F(t_2/c)-F(t_1/c))-c\sqrt{2\pi}e^{-\frac{\pi a}{\sqrt 3}-\frac{\pi^2b^2c^2}6}(F(t_2+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3})-F(t_1+\frac{\pi bc^2}{\sqrt 3}))$
, где F функция распределения Гаусса, с точностью до $\sqrt 2$ в аргументе =erf

Подскажите пожалуйста, а как вы представили

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx$

чтобы выразить его как разницу интегралов вероятности?

Ian · Сообщение **Ian** » 13 июн 2011, 09:30

В показателе экспоненты квадратный трехчлен, в нем выделить полный квадрат

А, понял, знаменатель. Думать надо

Vector · Сообщение **Vector** » 13 июн 2011, 09:58

Ian писал(а):Source of the post
В показателе экспоненты квадратный трехчлен, в нем выделить полный квадрат

А, понял, знаменатель. Думать надо

А если этот интеграл представить так,

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}*e^{-\frac {\pi (a - bx)}{\sqrt 3}} \frac {1} {1+e^{-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt 3}}}dx = {\frac {1} {2}} \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}}}dx + {\frac {1} {2}} \int_{t_1}^{t_2}e^{-\frac {x^2} {2c^2}} \th(\frac {a-bx} {2} )}dx$

может тогда, кто-то что-то увидит? Спасибо за внимание!

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 13 июн 2011, 10:07

Vector писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?
$\int_{t_1}^{t_2}(e^-\frac {x^2} {2c^2}) \frac {1} {1+e^-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}{dx}$

Нет интеграл в элементарных функциях не выражается.

Vector · Сообщение **Vector** » 13 июн 2011, 10:11

vicvolf писал(а):Source of the post
Vector писал(а):Source of the post
Подскажите пожалуйста, можно ли взять такой интеграл аналитически, или как его можно выразить через не элементарные функции?
$\int_{t_1}^{t_2}(e^-\frac {x^2} {2c^2}) \frac {1} {1+e^-\frac {\pi (a - bx)} {\sqrt{3}}}{dx}$

Нет интеграл в элементарных функциях не выражается.

Через интегралы гаусса и т.п. вполне подходит! Может стоить через тангенс гиперболический уйти в комплексную алгебру?

yourdomain.com