Сходимость интеграла

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 05 июн 2011, 17:35

$\int_{0}^{1}{\frac {sinx+cosx} {\sqrt[5]{1-x^3}}}dt}$

Вот тут можно числитель заменить на
$\sqrt{2}sin(x+\frac {\Pi} {4})$

знаменатель на
$x^{\frac {3} {5}}$

То есть нужно исследовать получившийся интеграл с функцией:
$\frac {\sqrt{2}sin(x+\frac {\Pi} {4}}) {x^{\frac {3} {5}}}$
Тут в знаменателе х, никак не могу что-то правильно формулу оформить...
???Подскажите:-)

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 05 июн 2011, 17:38

Найдите асимптотику функции при $x \to 1$ , проинтегрируйте ее и сделайте вывод.

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 05 июн 2011, 17:42

Sonic86 писал(а):Source of the post
Найдите асимптотику функции при $x \to 1$ , проинтегрируйте ее и сделайте вывод.
пи пишется \pi, синус - \sin, дробь - \frac{верх}{низ}

ну тут понятно что х=1-особая точка, дальше как?

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 05 июн 2011, 17:44

асимптотику функции найдите в этой точке. Если Вам сложно, сделайте замену $$x=1-t$$

и посмотрите на поведение функции при $t \in (0; \varepsilon)$ .

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 05 июн 2011, 17:48

Sonic86 писал(а):Source of the post
асимптотику функции найдите в этой точке. Если Вам сложно, сделайте замену и посмотрите на поведение функции при $t \in (0; \varepsilon)$ .

ну в числителе будет
$\frac {\Pi} {2}$ ?

Или нужно учесть что синус и косинус могут принимать значения (максимальные)-это 1, и их сумма будет равна 2?
Извините если это бред, но просто в методичке нет ничего про асимптотику и я мало понимаю что нужно, в методичке берутся функции для сравнения....и так далее...

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 05 июн 2011, 17:53

Пишите в ТеХе правильно, пожалуйста! Пи пишется \pi

Ааа, тогда так: делаете замену, потом то, что не стремится к 0 или к $+ \infty$ оцениваете сверху или снизу в зависимости от того, доказываете сходимость или расходимость, и потом оцениваете интеграл $\int\limits_0^{\varepsilon} f(t)dt$ сверху или снизу через оценку функции, потом интегрируете, а потом понятно.

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 05 июн 2011, 18:10

Sonic86 писал(а):Source of the post
Пишите в ТеХе правильно, пожалуйста! Пи пишется \pi

Ааа, тогда так: делаете замену, потом то, что не стремится к 0 или к $+ \infty$ оцениваете сверху или снизу в зависимости от того, доказываете сходимость или расходимость, и потом оцениваете интеграл $\int\limits_0^{\varepsilon} f(t)dt$ сверху или снизу через оценку функции, потом интегрируете, а потом понятно.

А не могли бы вы написать интеграл который нужно проинтегрировать после замены? ведь если я сделаю замену на t-1, то получится ж похожий интеграл,...как его проинтегрировать... ну вот не пойму я никак(((

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 05 июн 2011, 18:12

После замены у Вас функция предстает в виде произведений функций. Некоторые функции при $t \to 0$ стремятся к постоянному числу и потому на сходимость не влияют и их можно на интервале оценить сверху и снизу. А некоторые стремятся к бесконечности или к нулю. Их надо оставить в функции. После оценки функция упростится и интегрировать ее станет проще.

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 05 июн 2011, 18:23

Sonic86 писал(а):Source of the post
После замены у Вас функция предстает в виде произведений функций. Некоторые функции при $t \to 0$ стремятся к постоянному числу и потому на сходимость не влияют и их можно на интервале оценить сверху и снизу. А некоторые стремятся к бесконечности или к нулю. Их надо оставить в функции. После оценки функция упростится и интегрировать ее станет проще.

так как же так в числителе получится произведение функций? если смотреть все формулы для сложения синусов или косинусов, то там либо 2 косинуса либо 2 синуса нужны.

nikita1 · Сообщение **nikita1** » 05 июн 2011, 20:08

проверьте пожалуйста мое решение в прикрепленном файле, просто очень долго тут писать...

yourdomain.com