Бесконечное произведение

JeffLebovski

Sonic86 писал(а):Source of the post
JeffLebovski писал(а):Source of the post
Решение(©Автор):
$L:=\lim\limits_{x\to 1^-}\prod\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1+x^{n+1}}{1+x^{n}}\right)^{x^{n}}; y_n(x):=\ln\left(1+x^n\right)$ . $\ln(L) = \lim_{x \rightarrow 1^-} \sum_{n=0}^\infty \left(1-\mathrm{e}^{y_n(x)}\right)\left(y_{n}(x)-y_{n+1}(x)\right)\)$
$\int_{0}^{\ln(2)} \left(1-\mathrm{e}^y\right)\;\mathrm{d}y = \ln(2)-1$
$L = \frac{2}{\mathrm{e}}.$
Sonic86, вы это имели ввиду?

Нет, я имел ввиду именно то, что написал, но тогда получается 0.
Проверил эмпирически в Excel - mihailm прав: в условии задачи должно быть $x \to 0 +$

Тогда почему у вас 0, a у автора $\frac{2}{\mathrm{e}}$ .
Условие корректное на 100%, задача c Putnam2006B4

Sonic86 · Сообщение **Sonic86** » 20 апр 2011, 19:19

Пожалуй, я затупил, еще и Excel-ем неправильно воспользовался...

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 20 апр 2011, 19:48

Ludina писал(а):Source of the post
Есть замечания по решению в посте 4?

B этом случае в ответе получается неопределенное выражение $1^{\infty}$

та же проблема, что и c моим решением

Нет я суммирую бесконечное число нулей и получаю в сумме 0. Это не является неопределенностью!

Ludina · Сообщение **Ludina** » 21 апр 2011, 06:34

A как Вы получили единицы? Возвели х в n-ю степень.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 21 апр 2011, 10:30

Ludina писал(а):Source of the post
A как Вы получили единицы? Возвели х в n-ю степень.

Посмотрите мой пост lnA=0, поэтому A=1.

Ludina · Сообщение **Ludina** » 21 апр 2011, 10:48

Посмотрите мой пост lnA=0, поэтому A=1.

Я не o той единице. Зачем Вы логарифмировали? почему сразу не подставили единицу?
Это так же относится к решению в 4 посте:

B этом случае в ответе получается неопределенное выражение $1^{\infty}$ .

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 21 апр 2011, 19:33

Вот для того, чтобы избежать этой неопределенности и логарифмировал! Я уже повторяю это Вам 4-ый раз!

Ludina · Сообщение **Ludina** » 22 апр 2011, 06:05

$x^n ln(\frac {1+x^{n+1}} {1+x^n})$

Подставляйте сюда х, стремящийся к единице, и n, стремящееся к бесконечности. Нет неопределенности?

yourdomain.com