Критерий Коши СПФ

Securus · Сообщение **Securus** » 12 янв 2011, 16:31

Здравствуйте! Мне было очень грустно читать доказательство достаточности критерия в книжках по матанализу(казалось слишком запутанным) и я попробовал получить своё доказательно. B результате получилось меньше чем в книге. Я подозреваю, что где-то допустил неточность.
Вот оно:
Достаточность:

Допустим, что $\forall \epsilon>0$ $\exists N$ $\forall n,m>N: |x_n-x_m|<\epsilon$
Выберем произвольное $\epsilon$ и выберем элементы, которые удовлетворяют условию.
Получаем множество, состоящее из бесконечного количества элементов.
Выберем любой элемент $x_{n0}$ .
Из условия (*) следует, что все элементы лежат между $a_1=x_{n0}-\epsilon$ и $b_1=x_{n0}+\epsilon$
Имеем промежуток $$ [a_1,b_1]$$

Далее уменьшим $\epsilon$ и выберем подмножество элементов, которые снова удовлетворяют условию.
Выберем $$a_2,b_2$$

за тем же правилом, что и $$a_1,b_1$$

Имеем промежуток $$ [a_2,b_2]$$

Повторяем процедуру, постепенно уменьшая $\epsilon$
B результате имеем бесконечною последовательность последовательно вложенных промежутков.
При этом ,так как длина промежутка= $2\epsilon$ $\to \lim {|b_n-a_n|}=0$
Существование границы следует из леммы o вложенных отрезках.
Теорема доказана.
Или нет?)
ПС. Как вы пишете Latexом? Я чуть не умер пока расставлял кучу MATH(

bot · Сообщение **bot** » 12 янв 2011, 17:10

Securus писал(а):Source of the post
Допустим, что $\forall \epsilon>0$ $\exists N$ $\forall n,m>N: |x_n-x_m|<\epsilon$
Выберем произвольное $\varepsilon$ и выберем элементы, которые удовлетворяют условию.
Получаем множество, состоящее из бесконечного количества элементов.

Нет, не получаем - получаем лишь множество пар $\{(x_n, x_m): |x_n-x_m|<\varepsilon\}$

ПС. Как вы пишете Latexом? Я чуть не умер пока расставлял кучу MATH(

A мы вообще не расставляем никаких mathов - это делает сам движок автоматически - нужно лишь написать формулу и окружить c двух сторон знаком доллара - как обычно в TEXe.

Кстати эпсилон станет красивше, если к нему спереди приписать var. Сравните

\epsilon $\epsilon$ и \varepsilon $\varepsilon$

Securus · Сообщение **Securus** » 12 янв 2011, 17:16

Нет, не получаем - получаем лишь множество пар $\{(x_n, x_m): |x_n-x_m|<\varepsilon\}$

И соответственно элементов из которых состоят пары.
Что-то не вижу проблемы.

(спасибо за доллар)

bot · Сообщение **bot** » 12 янв 2011, 17:21

B каждом из выполняющихся неравенств $|x_n-x_m|<\varepsilon$ участвуют два элемента. По какому признаку Вы собираетесь формировать своё множество?

Ну, допусти оба

Выберем любой элемент $x_{n0}$ .
Из условия (*) следует, что все элементы лежат между $a_1=x_{n0}-\epsilon$ и $b_1=x_{n0}+\epsilon$

Ну, если Вы взяли $$n_0>N$$

, a не любое, то получается, что после номера $$N$$

, то есть отнюдь не для всех, получится указанное включение ...

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 12 янв 2011, 17:22

Если внимательно посмотрите учебник, то увидите, что вы, по сути дела, доказали теорему Больцано-Вейерштрасса: из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, a именно $x_{n_0}$ , $x_{n_1}$ , $\ldots$ .

Securus · Сообщение **Securus** » 12 янв 2011, 17:33

bot писал(а):Source of the post
B каждом из выполняющихся неравенств $|x_n-x_m|<\varepsilon$ участвуют два элемента. По какому признаку Вы собираетесь формировать своё множество?

Выбрал элементы c номером больше N.

Если внимательно посмотрите учебник, то увидите, что вы, по сути дела, доказали теорему Больцано-Вейерштрасса: из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, a именно x_{n_0}, x_{n_1}, \ldots

Я как раз посмотрел Фихтенгольца. У него оказалось 2 доказательства. Я увидел до этого первое и оно мне не понравилось, поэтому я и стал делать свои попытки. 2 доказательство оказалось очень похожим на моё.

yourdomain.com