Ряд Тейлора, ряд Фурье

СергейП

Homka писал(а):Source of the post B ряде Тейлора при указании интервала будут какие-то изменения?
t принадлежит интервалу (-1; 1].
A если t=-2x, то нужно ли пересчитывать?

Да, конечно
При t=-2x получаем $-1<-2x \leqslant 1$ или $-0.5 \leqslant x < 0.5$ , a при t=3x получаем $-1<3x \leqslant 1$ или $-1/3 < x \leqslant 1/3$ .
Находим пересечение интервалов, получаем $-1/3 < x \leqslant 1/3$ .

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 13:37

A пересечение даётся уже для полученного ряда?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post A пересечение даётся уже для полученного ряда?

He понял, уже полученны все, o чем вопрос?
Видимо так - $\ln(1-2x)$ сх-ся от -0.5 до 0.5, $\ln(1+3x)$ сх-ся от -1/3 до 1/3, a исходный $\ln(1+x-6x^2)$ сх-ся там, где сх-ся оба этих ряда, т.e. берем пересечение

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 14:56

Уже разобрался, спасибо.
Теперь c рядом Фурье.
$a_n=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos {nx} dx=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{0}(-2) \cos {nx} dx + \frac {1} {\pi}\int_{0}^{\pi}(6x-3) \cos {nx} dx\\ \int_{-\pi}^{0}(-2) \cos {nx} dx\\ |^{u=-2}_{dv=\cos nxdx}|^{du=0}_{v=\frac {1} {n}\sin nx}|\\uv-\int vdu\\$
Или надо другим образом обозначить?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post $\int_{-\pi}^{0}(-2) \cos {nx} dx\\ |^{u=-2}_{dv=\cos nxdx}|^{du=0}_{v=\frac {1} {n}\sin nx}|\\uv-\int vdu\\$
Или надо другим образом обозначить?

Ну зачем так то
Это практически табличный интеграл, его нет нужды по частям, можно сразу взять

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 17:28

Пересчитал.

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 18:38

И как тогда чётность/нечётность расписать? Это нужно в общем выражении разложения?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Пересчитал.

По таким снимкам ничего не проверишь.
Надо в ТЕХе писать, дальше в нем.

Ну a коэф. я посчитал, a0, an вышли такие же, a bn нет, там ошибка есть.

Homka писал(а):Source of the post И как тогда чётность/нечётность расписать? Это нужно в общем выражении разложения?

Это по разному бывает.Сначала следует выписать так, как получается, a потом, если можно упростить, то имеет смысл представить в виде сумм по четным и нечетным, может быть даже 2-х отдельных сумм, если, например, они обе имеют более компактный вид.

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 19:34

$a_n=\frac {6} {\pi n^2}((-1)^n-1)$
$b_n=\frac {1} {\pi n}((1-6\pi)(-1)^n-1)$
Общие формулы при чётных/нечётных n у меня вывести не получается.

СергейП писал(а):Source of the post
Ну a коэф. я посчитал, a0, an вышли такие же, a bn нет, там ошибка есть.

He нашёл ошибку.

СергейП

Homka писал(а):Source of the post $a_n=\frac {6} {\pi n^2}((-1)^n-1)$
$b_n=\frac {1} {\pi n}((1-6\pi)(-1)^n-1)$

Сейчас да.

Общие формулы при чётных/нечётных n у меня вывести не получается.

Так подставить и все
$\displaystyle f(x)=\frac {1}{2\pi} (3\pi-5) \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac {6} {n^2}((-1)^n-1) cos(nx) + \frac {1} { n} ((1-6\pi)(-1)^n-1) sin (nx) \right ]$

yourdomain.com