Ряд Тейлора, ряд Фурье

Homka · Сообщение **Homka** » 21 дек 2010, 06:03

Вопросы в силе.

bot · Сообщение **bot** » 21 дек 2010, 06:17

Здесь одинаково просто - вычислять производные и составлять ряд или наоборот найти разложение, a из него вытащить производные.

Разложение моментально из тождества:

$\ln (1+x)=\ln (1+x_0)+\ln \left(1+\frac{x-x_0}{1+x_0}\right)$

Homka · Сообщение **Homka** » 21 дек 2010, 19:49

Посмотрите второе задание:
$a_0=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{0}(-2)dx+\frac {1} {\pi}\int_{0}^{\pi}(6x-3)dx=\\=\frac {1} {\pi}(-2\pi)+\frac {1} {\pi}(3\pi^2-3\pi)=-2+3\pi-3=3\pi-5$

$a_n=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \cos {nx} dx=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{0}(-2) \cos {nx} dx + \frac {1} {\pi}\int_{0}^{\pi}(6x-3) \cos {nx} dx=\\=\frac {-2\sin nx} {n\pi}|_{-\pi}^0+\frac {\frac {6\cos nx+\sin nx nx} {n}-3\sin nx} {\pi n}=\frac {-2\sin \pi n} {n\pi}+\frac {3(-2+2\cos \pi n-\sin \pi n n + 2\sin \pi n n \pi)} {\pi n^2}=\\= |_{0, n=2,4,6}^{-\frac {12} {n^2\pi},n=1,3,5$

$b_n=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x) \sin {nx} dx=\frac {1} {\pi}\int_{-\pi}^{0}(-2) \sin {nx} dx + \frac {1} {\pi}\int_{0}^{\pi}(6x-3) \sin {nx} dx=\\=\frac {-2\cos nx} {n\pi}|_{-\pi}^0+\frac {\frac {6\sin nx-cos nx nx} {n}+3\sin nx} {\pi n}=\frac {-2(\cos \pi n-1)} {n\pi}-\frac {3(n-2\sin \pi n-\cos \pi n n + 2\cos \pi n n \pi)} {\pi n^2}=\\= |_{\frac {-6} {n}, n=2,4,6}^{-\frac {-2+\pi} {n\pi},n=1,3,5$

Homka · Сообщение **Homka** » 22 дек 2010, 13:20

Вопрос остаётся.
И всё-таки c разложение ряда по степеням x. Почему разложение ln(1+x) даётся без точки x₀, как должно быть?

A разложение в ряд Фурье я прилагаю к сообщению.

[img]/modules/file/icons/x-office-document.png[/img] _____________________________________________________________.doc

Homka · Сообщение **Homka** » 22 дек 2010, 17:50

$\ln(1-2x)(3x+1)=\ln(1-2x)+\ln(1+3x)$
$\ln(1+x)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}x^n} {n}=x-\frac {x^2} {2}+\frac {x^3} {3}-\frac {x^4} {4}+...$

$\ln(1+t)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}t^n} {n}=t-\frac {t^2} {2}+\frac {t^3} {3}-\frac {t^4} {4}+...\\ \ln(1-2x)=\ln(1+(-2x)):\\ t=-2x\\ \ln(1-2x)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}(-2x)^n} {n}=-2x-\frac {(-2x)^2} {2}+\frac {(-2x)^3} {3}-\frac {(-2x)^4} {4}+...=\\=-2x-\frac {4x^2} {2}+\frac {-8x^3} {3}-\frac {16x^4} {4}+...\\ \ln(1+3x):\\ t=3x\\ \ln(1+3x)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}(3x)^n} {n}=3x-\frac {(3x)^2} {2}+\frac {(3x)^3} {3}-\frac {(3x)^4} {4}+...=\\=3x-\frac {9x^2} {2}+\frac {27x^3} {3}-\frac {81x^4} {4}+...\\ \ln(1+x-6x^2)=\ln(1-2x)+\ln(1+3x)=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}(-2x)^n} {n}+\sum_{n = 1}^{\infty}\frac {(-1)^{n+1}(3x)^n} {n}=\\= (-2x+3x)-(\frac {4x^2} {2}+\frac {9x^2} {2})-(\frac {-8x^3} {3}+\frac {27x^3} {3})-(\frac {16x^4} {4}+\frac {81x^4} {4})+...=\\= x-\frac {13x^2} {2}+\frac {19x^3} {3}-\frac {97x^4} {4}+...$

Верно ли? Как можно получить общую формулу члена получившегося ряда?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Верно ли? Как можно получить общую формулу члена получившегося ряда?

Похоже, верно
A формула, так она уже есть
$\displaystyle \ln(1+x-6x^2)=-(2-3)x-\frac {2^2+3^2} {2}x^2-\frac {2^3-3^3} {3} x^3-$
$\displaystyle -\frac {2^4+3^4} {4}x^4-...-\frac {2^n+(-1)^{n}3^n} {n}x^n-...$

Homka · Сообщение **Homka** » 22 дек 2010, 18:59

СергейП писал(а):Source of the post
Homka писал(а):Source of the post Верно ли? Как можно получить общую формулу члена получившегося ряда?
Похоже, верно
A формула, так она уже есть
$\displaystyle \ln(1+x-6x^2)=-(2-3)x-\frac {2^2+3^2} {2}x^2-\frac {2^3-3^3} {3} x^3-$
$\displaystyle -\frac {2^4+3^4} {4}x^4-...-\frac {2^n+(-1)^{n}3^n} {n}x^n-...$

Aaa... тогда всё понятно!
Мои выкладки по Фурье вы не смотрели?

СергейП

Homka писал(а):Source of the post Мои выкладки по Фурье вы не смотрели?

Посмотрел, проверять сложно.
Если бы подробно было расписано, как по частям бралось, можно было бы ошибки выловить.

A так - замечания по ходу
1. Никаких $cos(\pi n n \pi )$ , конечно, быть не может, только $\cos(\pi n )$ и $\sin(\pi n)$
2. Каждый $\cos(\pi n )$ станет $$(-1)^n$$

, сначала бы так их и записать, a уже потом расписывать по чет/нечет. Кстати, четные нужно обозначить как n=2k, a нечетные - как n=2k+1 или n=2k-1
3. $$b_n$$

выглядят явно ошибочно, должно быть $$n^2$$

в знаменателе, a их нет, да и одна из промежуточных выкладок в следующую не переходит точно

Homka · Сообщение **Homka** » 22 дек 2010, 20:33

Аргументы просто не поставил в скобки. Первая парочка является аргументом, a вторая уже отдельно.
Буду разбираться, выкладки покажу.

Homka · Сообщение **Homka** » 23 дек 2010, 13:09

B ряде Тейлора при указании интервала будут какие-то изменения?
t принадлежит интервалу (-1; 1].
A если t=-2x, то нужно ли пересчитывать?

yourdomain.com