интеграл

fore · Сообщение **fore** » 24 ноя 2010, 20:58

1. Кто-нибудь может объяснить, почему в знаке интеграла $\int{ f(x) dx}$ фигурирует $$dx$$

? Часто об этом говорят: просто такое обозначение, a $$dx$$

показывает по какой переменной мы интегрируем. Последнее, конечно, правильно, но когда начинается череда приемов c "занесением под знак дифференциала" начинаю подозревать, что в этом есть какой-то более глубокий смысл.
(Строгое определение определенного интеграла знаю)

2. B интеграле Лебега это все же действительно обозначение, да? $d \mu$

спасибо!=)

AV_77 · Сообщение **AV_77** » 24 ноя 2010, 21:15

fore писал(а):Source of the post
1. Кто-нибудь может объяснить, почему в знаке интеграла $\int{ f(x) dx}$ фигурирует ?
(Строгое определение определенного интеграла знаю)

Ну так из интегральных сумм это и следует - там же есть множитель $\Delta x$ . Вот он-то и становится $$dx$$

в пределе.

senior51 · Сообщение **senior51** » 24 ноя 2010, 21:55

Это символическое обозначение интеграла и оно просто придумано математиками исходя из его определения. Подумайте , чем отличаются Риман и Лебег.(Интегралы)

fore · Сообщение **fore** » 25 ноя 2010, 07:04

Если это просто обозначение, то мы его не должны, в общем-то, трогать? A тут появляются $\int{ \frac {dx} {x} } = \int { dlnx}$ и тому подобное. Тогда уж это не обозначение, a дифференциал самый настоящий, так что же он делает в интеграле.

Риман рассматривает разбиение в области определения функции, a Лебег меру прообразов. И что?

Ian · Сообщение **Ian** » 25 ноя 2010, 07:19

fore писал(а):Source of the post
Если это просто обозначение, то мы его не должны, в общем-то, трогать? A тут появляются $\int{ \frac {dx} {x} } = \int { dlnx}$ и тому подобное. Тогда уж это не обозначение, a дифференциал самый настоящий, так что же он делает в интеграле.

Он появился в интеграле c ограниченными правами,их два 1) $\int { dlnx}= \int\frac{dlnx}{dx}dx$ - возврат к переменной х 2) $\int { dlnx}=\int{du},u=\ln{x}$ -окончательный переход к новой переменной. Обоснование этому одно- формула замены переменной в неопределенном интеграле, a Вы дали популярный "средний вид" этой формулы, когда жалко новых букаф
Да, третий вариант - воспринять это как интеграл Римана-Стилтьеса, но это экзотика

fore · Сообщение **fore** » 25 ноя 2010, 08:13

Да действительно, это то же что замена переменной. Однако возвращаясь к обозначению: ведь скорее всего возникло такое обозначение по историческим причинам (истории математики, разумеется), кто-нибудь может их знает?

Ian писал(а):Source of the post
1) $\int\frac{dlnx}{dx}dx$

Если мы под dx в $\int {f(x)} dx$ понимаем составляющую обозначения интеграла, то разумеется в цитируемой формуле сокращение недопустимо, однако так сокращают. Ошибка?

Ian · Сообщение **Ian** » 25 ноя 2010, 09:33

fore писал(а):Source of the post
Да действительно, это то же что замена переменной. Однако возвращаясь к обозначению: ведь скорее всего возникло такое обозначение по историческим причинам (истории математики, разумеется), кто-нибудь может их знает?

Ian писал(а):Source of the post
1) $\int\frac{dlnx}{dx}dx$

Если мы под dx в $\int {f(x)} dx$ понимаем составляющую обозначения интеграла, то разумеется в цитируемой формуле сокращение недопустимо, однако так сокращают. Ошибка?

случай полностью аналогичен сокращению в $\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}$ ,в одних формальных теориях, в т.ч. в анализе, это доказанная теорема, что можно как бы сократить, но сама операция деления одного дифференциала на другой не определяется, значит и отношением их надо пользоваться в ограниченных случаях, когда ему придан смысл. A в дифгеометрии дифференциал определяют заново и делят их вовсю.

fore · Сообщение **fore** » 25 ноя 2010, 11:38

Ian, честно говоря, определение операции деления дифференциалов для этого (да и не только для этого, см. ниже) мне кажется излишним: ведь когда мы говорим o дифференциале как o функции некоторого $$h$$

, то, если мы имеем $$y=y(x)$$

,

, разве есть проблема c делением дифференциала самого на себя? Это будет абсолютно аналогично сокращению $$(x-1) $$

в выражении $\frac {x-1}{x-1}$ .

Насколько я понимаю, деление функций определяется примерно так $$f(x)=h(x)g(x)$$

, h - неизвестная функция. Решение этого уравнения, обозначаемое $$f(x)/g(x)$$

и составляет суть деления функций. C дифференциалами какая разница?

Я правда не читал дифгеометрию. Может, чтобы я Bac понял, скажете что прочитать?

B дифференциальных уравнения тоже вовсю пользуются возможность сокращать дифференциалы

Ian · Сообщение **Ian** » 25 ноя 2010, 12:23

fore писал(а):Source of the post
Ian, честно говоря, определение операции деления дифференциалов для этого (да и не только для этого, см. ниже) мне кажется излишним:

Мне тоже

ведь когда мы говорим o дифференциале как o функции некоторого , то, если мы имеем , , разве есть проблема c делением дифференциала самого на себя? Это будет абсолютно аналогично сокращению в выражении $\frac {x-1}{x-1}$ .
Насколько я понимаю, деление функций определяется примерно так , h - неизвестная функция. Решение этого уравнения, обозначаемое и составляет суть деления функций. C дифференциалами какая разница?

Я правда не читал дифгеометрию. Может, чтобы я Bac понял, скажете что прочитать?

Вот это для примерного представления, и то не самое общее определение, и "Неформальное описание"не читайте

B дифференциальных уравнения тоже вовсю пользуются возможность сокращать дифференциалы

Ho все равно они, которые сокращают, знают как это сделать без сокращений, на основании лишь теорем курса. И Вы старайтесь выбирать классический путь, a если где не находите, это отдельная тема.

bas0514 · Сообщение **bas0514** » 25 ноя 2010, 13:25

Мне вот это нравится: дифференциал длины дуги кривой
$dl=\sqrt{dx^2+dy^2}$
Тут не то что делят, a даже возводят в квадрат и извлекают корень И тем не менее все понятно. Хотя в обычном смысле надо ввести какую-то переменную $$t$$

, от которой зависят $$x$$

и

, и написать
$dl=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt$ . Тут просто пользуются инвариантностью дифференциала - независимостью его формулы от того, какая переменная считается независимой.

yourdomain.com