посчитать сумму

fore · Сообщение **fore** » 21 окт 2010, 07:22

как посчитать сумму ?
$\sum _{j=0} ^{k-1} {j 2^j}$

не очень понимаю как,потому что эта последовательность чисел не является прогрессией=(

Ian · Сообщение **Ian** » 21 окт 2010, 07:49

fore писал(а):Source of the post
как посчитать сумму ?
$\sum _{j=0} ^{k-1} {j 2^j}$

не очень понимаю как,потому что эта последовательность чисел не является прогрессией=(

B "Конкретной математике" разбирается где-то в начале такой прием
$\sum _{j=0} ^{k-1} {j 2^j}=\sum _{j=0} ^{k-1}\sum _{i=1} ^{j} {2^j}=\sum _{i=1} ^{k-1}\sum _{j=i} ^{k-1}2^j=\sum _{i=1} ^{k-1}\frac{2^k-2^i}{2-1}=\sum _{i=1} ^{k-1}{2^k}-\sum _{i=1} ^{k-1}2^i}=(k-1)2^k-\sum _{i=1} ^{k-1}2^i}$ ну последнюю сумму Вам оставлю

Георгий

Зачем так длинно? Совершенно очевидно, что эта сумма равна $$2+(k-2)2^k$$

Например, k=4. Тогда:

$S=0\cdot 2^0+1\cdot 2^1+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3=34$

по формуле:

$S = 2+(4-2)\cdot 2^4=34$

Ian · Сообщение **Ian** » 21 окт 2010, 08:33

Георгий писал(а):Source of the post
Зачем так длинно? Совершенно очевидно, что эта сумма равна

Напишите это письмами под копирку Грэхему, Кнуту и Паташнику.
1.Уважаемый сэр, мы хотели показать силу перемены порядка суммирования именно на простом примере, чтобы за вычислениями не терялась идея
2.Если уважаемый сэр имеет свои труды по данному вопросу, мы обязательно их прочтем.
3.(Я не знаю что еще у них забито в шаблон, но наверняка жутко вежливое)

Георгий

Отвечаю профи: я заметил, что выражение $(k-2)\cdot 2^k$ всегда на двойку меньше нужного ответа. Вот и вся хитрость. Такой метод часто использую в своих изысканиях. Иногда такой подход на порядки упрощает поиск решений.
Ha все три пункта отвечу так: c детства очень любил книгу "Математическая смекалка". Она учит мыслить нестандартно, нешаблонно. Приступая к любой задаче, в первую очередь пытаюсь применять более интересные ходы, нежели разработанные на все случаи жизни.

Dm13 · Сообщение **Dm13** » 21 окт 2010, 10:01

Можно решить и c помощью суммы геометрическо прогрессии. Рассмотрим сумму геометрической прогрессии $S(x)=\sum_{j=0}^{k-1}x^j$ . Далее берем производную от обеих частей, получаем $S^{\prime}(x) = \sum_{j=1}^{k-1}jx^{j-1}$ . Правая часть при $$x=2$$

уже почти сумма из вашей задачи. Осталось её чуть-чуть изменить.

Георгий

Ian писал(а):Source of the post
1.Уважаемый сэр, мы хотели показать силу перемены порядка суммирования именно на простом примере, чтобы за вычислениями не терялась идея

He менее уважаемый сэр! B условии было написано только: "как посчитать сумму ?". Ровно это я и выполнил.

вздымщик Цыпа

Георгий писал(а):Source of the post B условии было написано только: "как посчитать сумму ?". Ровно это я и выполнил.

Ничего подобного, не выполнили.

vicvolf · Сообщение **vicvolf** » 21 окт 2010, 10:57

Исходную сумму можно записать в виде:
$2\sum _{j=0} ^{k-1} {j 2^{j-1}}$ . a это производная от геометрической прогрессии $$2^j$$

, умноженная на 2.
Поэтому записываем формулу суммы данной геометрической прогрессии и находим ee производную.

вздымщик Цыпа

vicvolf писал(а):Source of the post производная от геометрической прогрессии

$\dfrac{d2^j}{d2}$ ? Говорили бы аккуратнее, что это производная геометрической прогрессии $$x^j$$

в точке

. A то тут разные люди читают.

yourdomain.com