Дифференциальное уравнение

Ian · Сообщение **Ian** » 28 сен 2010, 09:27

Я тут прокомментирую, что мой путь (пост 11, a действия аналогичны посту 17) приводит к общему виду функций, удовлетворяющих и уравнению, и трем условиям. A вот на пути Munina такого мне не удалось, хотя пробовал много раз. Поэтому интересно, у кого тут что выйдет :search:

Karabas · Сообщение **Karabas** » 28 сен 2010, 17:37

$\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\quad x\geqslant 0,\quad t>0\\ u(x,0)=\varphi(x)\\ \frac{\partial u(x,0)}{\partial t}=\psi(x)\\ \frac{\partial u(0,t)}{\partial x}=u(0,t)+ t^2 \end{array}\right$
Формула Даламбера
$\\u(x,t)=f(x-t)+g(x+t)\\ f(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\psi(s)ds-\frac{C}{2}\\ g(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)+\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\psi(s)ds +\frac{C}{2}$
Теперь я подставляю f и g в краевое условие и получаю
$-\frac{df(-t)}{dt}+\frac{dg(t)}{dt}=f(-t)+g(t)+t^2$
Далее так как функция подставляем значение g
$\frac{df(-t)}{dt}+f(-t)=\frac{1}{2}\varphi'(t)+\frac{1}{2}\psi(t)-\frac{1}{2}\varphi(t)-\frac{1}{2} \int_{0}^{t}\psi(s)ds -\frac{C}{2}+t^2$
Так можно вычислить функцию f и соответственно u.

fir-tree · Сообщение **fir-tree** » 28 сен 2010, 18:24

Karabas писал(а):Source of the post Теперь я подставляю f и g в краевое условие и получаю

Распишите этот шаг подробнее. Сначала подставляете f и g и расшифровывайте производные, a только после этого подставляйте x=0.

Karabas · Сообщение **Karabas** » 29 сен 2010, 10:23

Ian · Сообщение **Ian** » 29 сен 2010, 10:38

Уравнение получается функционально- дифференциальное. И как его распутаете?

yourdomain.com