Исключение параметра

Homka · Сообщение **Homka** » 11 сен 2010, 14:13

Задание из курса теоретической механики. До этого всегда давались линейные функции или параметр не был так "запрятан", a тут параметр t (время) стоит в аргументе тригонометрической функции:

$x=2*\sin(\pi t)-2,\\ y=\cos(2\pi t)+2$
Как посоветуете исключить параметр t?

Таланов

Косинус двойного угла расписать и затем х подставить. Должно получиться $$y(x)$$

без

.

Alexdemath · Сообщение **Alexdemath** » 11 сен 2010, 14:35

Homka писал(а):Source of the post
Задание из курса теоретической механики. До этого всегда давались линейные функции или параметр не был так "запрятан", a тут параметр t (время) стоит в аргументе тригонометрической функции:

$x=2*\sin(\pi t)-2,\\ y=\cos(2\pi t)+2$
Как посоветуете исключить параметр t?

Выражаете t из первого уравнения $\displaystyle{t=\frac{1}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1\right)}$

и подставляете его во второе уравнение

$\displaystyle{y=\cos\!\left[2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1}\right)\right]+2=1-2x-\frac{x^2}{2}.}$

Homka · Сообщение **Homka** » 11 сен 2010, 14:38

Alexdemath писал(а):Source of the post

Выражаете t из первого уравнения $\displaystyle{t=\frac{1}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1\right)}$

и подставляете его во второе уравнение

$\displaystyle{y=\cos\!\left[2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1}\right)\right]+2=1-2x-\frac{x^2}{2}.}$

Я не математик или просто плохо дружу c вышкой, но как так выразилось t?
Вариант talanov куда понятнее, но ещё попробовать надо.

Таланов

Homka писал(а):Source of the post
Вариант talanov куда понятнее, но ещё попробовать надо.

Пробуйте.

Alexdemath · Сообщение **Alexdemath** » 11 сен 2010, 15:03

Homka писал(а):Source of the post
Alexdemath писал(а):Source of the post
Выражаете t из первого уравнения $\displaystyle{t=\frac{1}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1\right)}$

и подставляете его во второе уравнение

$\displaystyle{y=\cos\!\left[2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1}\right)\right]+2=1-2x-\frac{x^2}{2}.}$

Я не математик или просто плохо дружу c вышкой, но как так выразилось t?
Вариант talanov куда понятнее, но ещё попробовать надо.

Сначала выразите синус из первого уравнения $\displaystyle{\sin\pi{t}=\frac{x}{2}+1}$ ,

также учтите, что $\displaystyle{\left|\frac{x}{2}+1\right|\leqslant 1\Leftrightarrow-1\leqslant \frac{x}{2}+1\leqslant1\Leftrightarrow{x}\in[-4;0].}$

$\displaystyle{t=\frac{1}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1\right)}$

Теперь t подставляйте во второе уравнение:

$\displaystyle{y=\cos\!\left[2\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1}\right)\right]+2=1-2\sin^2\!\left[\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1\right)\right]+2=}$

$\displaystyle{=3-2\!\left(\frac{x}{2}+1\right)^2=3-2\!\left(\frac{x^2}{4}+x+1\right)=1-2x-\frac{x^2}{2}$ при $\displaystyle{x\in[-4;0]$

Ian · Сообщение **Ian** » 11 сен 2010, 15:58

Alexdemath писал(а):Source of the post
$\displaystyle{t=\frac{1}{\pi}\arcsin\!\left(\frac{x}{2}+1\right)}$

Тут есть неточность, т.к. t пробегает любые действительные значения, a движение - периодическое по куску параболы.Лучше начинать :обозначим
$\displaystyle z=\sin\pi t$
$\displaystyle z=\frac x2+1$
По формуле косинуса двойного аргумента $\displaystyle y=1-2z^2+2=...$
И получим ответ как у Alexdemath

Таланов

Homka писал(а):Source of the post
$x=2*\sin(\pi t)-2,\\ y=\cos(2\pi t)+2$
Как посоветуете исключить параметр t?

$y=\cos(2\pi t)+2=3-2\sin^2\pi t$
$\sin^2\pi t=(\frac{x+2}{2})^2$
$y=3-2(\frac{x+2}{2})^2$
B отличии от решений приведённых выше здесь нет искусственно созданных "подводных камней" как-то:

Alexdemath писал(а):Source of the post
также учтите, что...

Ian писал(а):Source of the post
Тут есть неточность, т.к. t пробегает любые действительные значения, a движение - периодическое по куску параболы.

yourdomain.com