Однородное дифференциальное уравнение

Ranyar · Сообщение **Ranyar** » 02 сен 2010, 20:34

Доброго времени суток.
Имеется уравнение:
$y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}$
Если я правильно определил, то это однородное диф уравнение.
Пытаюсь решить методом замены $$y=ux$$

, получается:
$u'+2u=\frac{1}{ux}$
Привести выражение к уравнению c разделяющимися переменными не получается или я что-то упускаю из виду.
Попробовал следующий способ:
Известно, что:
$y'=\frac{1}{x'}$
Тогда:
$\frac{1}{x'}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x}$ ;
$x'=y-\frac{x}{y}$
Произвожу замену $$x=yu$$

;

;
$\int {\frac{du}{u}}=-\int {\frac{dy}{y}}$ ;
$$lnu=-lny+C$$

;
a т.к. $u=\frac{x}{y}$ , то $$lny$$

сокращается и остаётся $$lnx=C$$

.

Хотелось бы узнать, верно ли это решение?

Alexdemath · Сообщение **Alexdemath** » 02 сен 2010, 21:01

Ranyar писал(а):Source of the post
Доброго времени суток.
Имеется уравнение:
$y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}$
Если я правильно определил, то это однородное диф уравнение.
Пытаюсь решить методом замены , получается:
$u'+2u=\frac{1}{ux}$
Привести выражение к уравнению c разделяющимися переменными не получается или я что-то упускаю из виду.
Попробовал следующий способ:
Известно, что:
$y'=\frac{1}{x'}$
Тогда:
$\frac{1}{x'}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x}$ ;
$x'=y-\frac{x}{y}$
Произвожу замену ; ;
;
$\int {\frac{du}{u}}=-\int {\frac{dy}{y}}$ ;
;
a т.к. $u=\frac{x}{y}$ , то сокращается и остаётся .

Хотелось бы узнать, верно ли это решение?

Замену сделали неверно, если $$y=xu$$

, то

.

Вообще, лучше сделайте эту замену: $y=\frac{u}{x}~\Rightarrow~y'=\frac{xu'-u}{x^2}$ .
Тогда, после упрощений, получите уравнение c разделяющимися переменными

$$uu'=x^2$$

СергейП

Ranyar писал(а):Source of the post
Доброго времени суток.
Имеется уравнение:
$y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}$
Если я правильно определил, то это однородное диф уравнение.
Пытаюсь решить методом замены , получается:
$u'+2u=\frac{1}{ux}$
Привести выражение к уравнению c разделяющимися переменными не получается или я что-то упускаю из виду.
Попробовал следующий способ:
Известно, что:
$y'=\frac{1}{x'}$
Тогда:
$\frac{1}{x'}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x}$ ;
$x'=y-\frac{x}{y}$
Произвожу замену ; ;
;
$\int {\frac{du}{u}}=-\int {\frac{dy}{y}}$ ;
;
a т.к. $u=\frac{x}{y}$ , то сокращается и остаётся .

Хотелось бы узнать, верно ли это решение?

Разумеется нет.
Вообще-то, по количеству ошибок близко к рекорду.
1. Это не однородное д.у.
2. Переход $y'=\frac{1}{x'}$ в таком случае не помогает
3. Вот из этого $\frac{1}{x'}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x}$ не следует вот это $x'=y-\frac{x}{y}$
4. Вот здесь "замена $$x=yu$$

;

; " неверно, т.к. функция $$u$$

, т.e. д.б. $$x'=u'y+u$$

venja · Сообщение **venja** » 03 сен 2010, 05:12

Это уравнение Бернулли.

СергейП

venja писал(а):Source of the post Это уравнение Бернулли.

Да, a также обобщенное однородное порядка $k= \frac 12$
A можно решать и заменой Alexdemath, но эта замена, вроде бы, не типовая. Возможно (не проверял), это подходящий интегрирующий множитель

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 03 сен 2010, 06:43

Ranyar писал(а):Source of the post
$y'+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}$

$yy'+\frac{y^2}{x}=1$
$$z=y^2, z'=2yy'$$

$\frac{z'}{2}+\frac{z}{x}=1$
A это уже линейное

ALEX165 · Сообщение **ALEX165** » 03 сен 2010, 06:44

- линейное первого порядка...

yourdomain.com