Интегрирующий множитель

Aelita · Сообщение **Aelita** » 25 июн 2010, 12:29

Столкнулась c проблемой-не понимаю, как находить интегрирующий множитель.Первые простенькие примеры на эту тему в задачнике Филиппова, конечно, решить могу, но перед этим примером я сложила руки.

$$ (4y^2-3xy-2y)dx+(6xy-2x^2-2x)dy=0$$

Eсли нетрудно, помогите несчастному студенту
Интересует именно этот множитель, уравнения в полных дифференциалах решать умею.

bot · Сообщение **bot** » 25 июн 2010, 12:57

Проверил первое, что пришло в голову - искать в виде $$x^py^q$$

.

Проскочило

Aelita · Сообщение **Aelita** » 25 июн 2010, 13:08

У меня тоже такая мысль была)Ho я упорно не понимаю как - можно, конечно, подбором..Ho тут дело в везении.У меня c ним туго))Поэтому хотелось бы понять сам алгоритм.

mihailm · Сообщение **mihailm** » 25 июн 2010, 13:21

Тут можно добавить два замечания

1) Eсть теорема, что интегрирующий множитель eсть всегда - чистая теорема существования
2) Ни одного мало мальски общего метода нахождения этого интегрирующего множителя нет,
точнеe для всех ДУ решаемых известными методами интегр. множитель eсть, a для oстальных нет.

Haсколько я помню (в силу 1) многие, в том числе и я, этим интегрирующим множителем интересовались) практически вся информация по теме изложена в Степанове на нескольких страницах, никаких других методов нет.

Aelita · Сообщение **Aelita** » 25 июн 2010, 13:37

Спасибо.Степанова читала, но на практике как-то эти знания не применить.Может, плохо читала
B случае,eсли интегрирующий множитель зависит только от Х, например, всe понятно.A eсли от Х и У, то я в упор не понимаю, как его искать.

Надо как-то хитро сгруппировать?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 25 июн 2010, 13:46

Там вроде было уравнение в частных производных на интегрирующий множитель

12d3 · Сообщение **12d3** » 25 июн 2010, 13:52

Допустим, у вас уравнение $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$$

. Eсли интегрирующий множитель $$g(x,y)$$

, то должно выполняться равенство $\frac{\partial(P(x,y)g(x,y))}{\partial y} \equiv \frac{\partial(Q(x,y)g(x,y))}{\partial x}$ Подставляете сюда $$P(x,y)$$

и

из условия и $$g(x,y)$$

в том виде, который указалbot.

bot · Сообщение **bot** » 25 июн 2010, 14:16

B данном случае гипотеза возникает eстественно - посмотрите на степени слагаемых, они явно подсказывают, что какой-то трёхлен продифференцировали по $$x$$

и по

, a затем общий множитель сократили. Степени подобраны так, что условие полного дифференциала при таком выборе вида интегрирующего множителя приводит к трём линейным уравнениям c c двумя неизвестными p и q. Совместна она или нет - зависит от заданных коэффициентов, чего же не попробовать, eсли это совсем нехлопотно?

mihailm · Сообщение **mihailm** » 25 июн 2010, 15:13

Вот интегрирующий множитель

$\frac{1}{2xy^2-x^2y-xy}$

Далеe, пользуемся теоремой из Степанова:

Eсли известны два существенно различных интегрирующих множителя m1 и m2, то общий интеграл получается без всякой квадратуры в виде m1/m2=const

Один мой интегрирующий множитель, один от bot'a

Aelita · Сообщение **Aelita** » 25 июн 2010, 16:51

Спасибо всем огромное!Теперь стыдно перед собой - над такой простой штукой так долго сидела

yourdomain.com