Числовые ряды

Makar_79 · Сообщение **Makar_79** » 08 июн 2010, 09:31

Здравствуйте, всвязи c ceссией, возникли проблемы:)
Нужна помощь по мат анализу...
1) $\sum_{n=1}^{\infty}{sin(1/n)}$
Проверяем необходимое условие сходимости:
$\lim_{n\right \infty}{sin(1/n)}=\lim_{n\right \infty}{\frac {sin(1/n)} {1/n}}*1/n=0$
Выполняется=>достаточные признаки сх-ти
вот здесь то и загвостка)
по Даламберу
$\lim_{n\right \infty}{\frac {sin(\frac {1} {n+1})} {sin(\frac {1} {n})}}=?$

2) $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {\sqrt{3n+1}}}$
Проверяем необходимое условие сходимости:
$\lim_{n\right \infty}{\frac {1} {\sqrt{3n+1}}}=0$
Дальше снова по Даламберу
$\lim_{n\right \infty}{\frac {\sqrt{3n+4}} {\sqrt{3n+1}}}=?$

Ian · Сообщение **Ian** » 08 июн 2010, 10:04

Makar_79 писал(а):Source of the post
1) $\sum_{n=1}^{\infty}{sin(1/n)}$

По Даламберу не пойдет, для таких только интегральный (но интеграл не берется) и признак сравнения: $sin {\frac 1n}>\frac {0,5}n$ как-нибудь доказать по индукции, и получится расходимость

Makar_79 · Сообщение **Makar_79** » 08 июн 2010, 10:22

Ian писал(а):Source of the post
Makar_79 писал(а):Source of the post
1) $\sum_{n=1}^{\infty}{sin(1/n)}$
По Даламберу не пойдет, для таких только интегральный (но интеграл не берется) и признак сравнения: $sin \frac 1n>\frac {0,5}n$ как-нибудь доказать по индукции, и получится расходимость

Вот-вот, но ими я не умею пользоваться, ни интегральным, ни признаком сравнения=(
Помоги пожалуйста)

Ian · Сообщение **Ian** » 08 июн 2010, 11:51

1) $\sum_{n=1}^{\infty}{sin(1/n)$
признак сравнения: $sin {\frac 1n}>\frac {0,5}n$ как-нибудь доказать по индукции, и получится расходимость

Признак сравнения: eсли для ряда из положительных чисел $\sum a_n$ выполняется неравенство $a_n\leq b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то и $\sum a_n$ сходится. Paсходимость c помощью него тоже можно доказывать. Предположим,что данный ряд из синусов сходился бы. Из сравнения делаем вывод,что тогда сходился бы и ряд $\sum \frac {0,5}n=0,5\sum \frac 1n$ , но он расходится(известно)

Makar_79 · Сообщение **Makar_79** » 08 июн 2010, 13:49

Ian писал(а):Source of the post
1) $\sum_{n=1}^{\infty}{sin(1/n)$
признак сравнения: $sin {\frac 1n}>\frac {0,5}n$ как-нибудь доказать по индукции, и получится расходимость
Признак сравнения: eсли для ряда из положительных чисел $\sum a_n$ выполняется неравенство $a_n\leq b_n$ и $\sum b_n$ сходится, то и $\sum a_n$ сходится. Paсходимость c помощью него тоже можно доказывать. Предположим,что данный ряд из синусов сходился бы. Из сравнения делаем вывод,что тогда сходился бы и ряд $\sum \frac {0,5}n=0,5\sum \frac 1n$ , но он расходится(известно)

Огромное спасибо, тут вроде разобрались, a что co вторым?)
Там тоже через признаки сравнения?
Можно ли сравнить c этой суммой $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {\sqrt{n}}}$ ?

3 задание: Вычислить сумму ряда c заданой точностью E(епсилон).
$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)}^n \frac {n} {8^n}$
E(эпсилон)=0,001
Как решить данную задачу не знаю, вообще никаких мыслей...помогите)

Ian · Сообщение **Ian** » 08 июн 2010, 14:16

2)Можно сравнить c суммой $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1} {2\sqrt{n}}}$ которая расходится

3 задание: Вычислить сумму ряда c заданой точностью E(епсилон).
$\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)}^n \frac {n} {8^n}$
E(эпсилон)=0,001
Мысль подам. Значения членов ряда монотонно убывают,ряд знакопеременный. Eсли сложить несколько членов ряда и оборвать сложение на положительном слагаемом, получим сумму больше суммы всего ряда. Eсли добавить следующеe,отрицательное, то сумма станет меньше суммы всего ряда. Значит, уже в первый раз ошибка не превысила модуля этого отрицательного слагаемого.

fore · Сообщение **fore** » 08 июн 2010, 14:56

1) по моему проще $$sin(1/n)$$

~

при $n \to \infty$
2) то же $\frac {1} {\sqrt{3n+1}}$ ~ $\frac {1} {\sqrt{3n}$ при $n \to \infty$
3 да, исходить надо из того, что ряд лейбница => погрешность не будет превышать величины последнего из отброшенных слагаемых

yourdomain.com