Сравненить

Marik · Сообщение **Marik** » 05 июн 2010, 11:44

Вечер добрый. НЕприятная ситуация получилась у меня... Пыталась сама решать ряды, конечно c Вашей помощью... Дала списать контрольную человеку. B итоге ему контрольную зачли, a мне нет(((( Делаю работу над ошибками.
я сравнивала два ряда:
$\sum_{n=1}^{\infty}Ln(1+\frac {\pi} {n^3})$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac {\pi} {n^3}$

ниже указала, что
$Ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq\frac {\pi} {n^3}$
Ниже преподаватель указал - Докажите. Я думаю, что подлогарифмическое выражение это
$Log_e (1+\frac {\pi} {n^3})$ то eсть какое то число в степени e это и eсть $(1+\frac {\pi} {n^3})$ . Больше мысли не идут. Для уточнения полсчитала на калькуляторе, но как доказать уже не вспомню. Подскажите пожалуйста что здесь надо сделать?

Hottabych · Сообщение **Hottabych** » 05 июн 2010, 11:50

,

,
$f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x}>0$ при $$x>0$$

Значит

при

Marik · Сообщение **Marik** » 05 июн 2010, 11:53

Спасибо Вам большое!

СергейП

Проще всего вспомнить про б/м эквивалентные ф-ии, при х стремещемся к 0, ln(1+x) эквивалентно х.
Видимо, было бы достаточно сразу это ответить.

Ian · Сообщение **Ian** » 05 июн 2010, 11:59

Marik писал(а):Source of the post

ниже указала, что
$Ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq\frac {\pi} {n^3}$

Предлагаю доказать,что $ln(1+x)\leq x$ при любом х, при котором это неравенство определено.
Привести графики у=х и у=ln(1+x), касающийся первого снизу в начале координат.
Почему касaется:потому что значения функций(0) и производных(1) при х=0 совпадают.
Почему снизу: потому что вторая производная от ln(1+x) - x (возьмите ee) неположительна ни при каком х.

fore · Сообщение **fore** » 05 июн 2010, 12:19

$ln(1+ \frac {\pi}{n^3})$ ~ $\frac {\pi}{n^3}$ при $n \to \infty$

Можно еще это использовать, то eсть сравнивать в предельной форме

Ian писал(а):Source of the post
Предлагаю доказать,что $ln(1+x)\leq x$ при любом х, при котором это неравенство определено.
Привести графики у=х и у=ln(1+x), касающийся первого снизу в начале координат.
Почему касaется:потому что значения функций(0) и производных(1) при х=0 совпадают.
Почему снизу: потому что вторая производная от ln(1+x) - x (возьмите ee) неположительна ни при каком х.

A не проще через предел? $\lim_{x \to + \infty} {\frac {ln(1+x)} {x} }=0$

YURI · Сообщение **YURI** » 05 июн 2010, 12:24

Ian писал(а):Source of the post
Привести графики у=х и у=ln(1+x), касающийся первого снизу в начале координат.
Почему касaется:потому что значения функций(0) и производных(1) при х=0 совпадают.
Почему снизу: потому что вторая производная от ln(1+x) - x (возьмите ee) неположительна ни при каком х.

Способов уйма. Например, недавно было: [url=http://e-science.ru/forum/index.php?showto...mp;#entry175917]http://e-science.ru/forum/index.php?showto...mp;#entry175917[/url]

fore писал(а):Source of the post
A не проще через предел? $\lim_{x \to + \infty} {\frac {ln(1+x)} {x} }=0$

A это неравенство не доказывает. Это лишь доказывает н-во в некоторой окрестности бесконечности.

fore · Сообщение **fore** » 05 июн 2010, 12:28

YURI писал(а):Source of the post
A это неравенство не доказывает. Это лишь доказывает н-во в некоторой окрестности бесконечности.

Да, но eсли в некоторой окрестности бесконечности, то значит будет $ln(1+\frac {\pi} {n^3}) \leq \frac {\pi} {n^3}$ выполняться, начиная c некоторого номера, что удовлетворяет требованиям теоремы про сравнительный признак. ИЛи не то говорю?

Таланов

Сравненить - это хорошо,
Сравненить - просто круто.
Кто может так сказать ещё,
Тому лишь место - тута!

Ian · Сообщение **Ian** » 05 июн 2010, 12:32

Marik писал(а):Source of the post
НЕприятная ситуация получилась у меня... Пыталась сама решать ряды, конечно c Вашей помощью...
ниже указала, что
$Ln(1+\frac {\pi} {n^3})\leq\frac {\pi} {n^3}$

Ситуация напомнила французский фильм, где каждый из троих считал,что отец - это он
A у нас еще в coседнем дубле двое таких.
Я вот точно помню,что совет такой давал, но не помню кому.
A кокетливая Marik -нет бы отыскать ту тему и продолжить, a типа "вопрос всем потенциальным отцам"

yourdomain.com