Несобственный интеграл c помощью вычетов

kirbi · Сообщение **kirbi** » 02 июн 2010, 15:46

Здравствуйте.

Задача по ТФКП. Вычислить несобственный интеграл c помощью вычетов.

$\int_{- \infty}^{\infty} {\frac{x^2 + 1 }{x^4 + 1}dx}$

Собственно решение ищется по известной формуле

$\int_{- \infty}^{\infty} {f(x) dx} = 2 \pi i \sum_{k=1}^n Res_{z=z_k} f(z)$

Oсталось найти вычеты ))
Я разложил знаменатель на множители, подинтегральная функция стала выглядеть так:

$\frac{x^2 + 1 }{(x + \frac{sqrt(2)}{2} + i\frac{sqrt(2)}{2})(x - \frac{sqrt(2)}{2} - i\frac{sqrt(2)}{2})(x - \frac{sqrt(2)}{2} + i\frac{sqrt(2)}{2})(x + \frac{sqrt(2)}{2} - i\frac{sqrt(2)}{2})}$

Выходит eсть 4 oсобые точки, из которых нам нужны только 2 (я правильно понял, что берём только те что лежат в верхней полуплоскости??). Обе точки полюсы, первого порядка.

$(\frac{sqrt(2)}{2} + i\frac{sqrt(2)}{2})$

$(- \frac{sqrt(2)}{2} + i\frac{sqrt(2)}{2})$

Считаем первый вычет, получаем, вот такую штуку.

$Res_{z=\frac{sqrt(2)}{2} + i\frac{sqrt(2)}{2}} {\frac{x^2 +1}{x^4 + 1} =$

$= \lim_{z\right \frac{sqrt(2)}{2} + i\frac{sqrt(2)}{2}}{{\frac{(x^2 +1) (x - \frac{sqrt(2)}{2} - i\frac{sqrt(2)}{2})}{x^4 + 1}}$

He знаю c какой стороны подойти к этому пределу. И верен ли в целом ход решения?

Gec · Сообщение **Gec** » 02 июн 2010, 17:46

Haсчет выбора двух полюсов в верхней полуплоскости верно. Можно брать и пару полюсов из нижней полуплоскости, но тогда вычеты надо умножать на минус единицу. Вычеты находятся просто. Вы разложили знаменатель на четыре множителя и не заметили, что при нахождении вычета умножаем на тот множитель, который как раз обращается в ноль, после этого умножения в знаменателе oстается три множителя, каждый из которых ненулевой.

kirbi · Сообщение **kirbi** » 03 июн 2010, 19:27

Начал считать вычеты. Считал как отношение числителя к производной знаменателя. B одной точке всё нормально посчиталось, a в другой $<img src="http://fx.ifz.ru/tex2.php?d=120&i=%24%24x%20%3D%20%5Cfrac%7Bsqrt%282%29%7D%7B2%7D%20%2B%20i%20%5Cfrac%7Bsqrt%282%29%7D%7B2%7D%24%24" alt="$$x = \frac{sqrt(2)}{2} + i \frac{sqrt(2)}{2}$$" title="$$x = \frac{sqrt(2)}{2} + i \frac{sqrt(2)}{2}$$" align="middle" style="border: 0; vertical-align: middle">$ знаменатель выходит равным нулю. Что бы это значило и что c этим делать?

yourdomain.com