Проверьте, пожалуйста. есль ли ошибки в решении ДУ

Evaf · Сообщение **Evaf** » 29 апр 2010, 20:21

СергейП писал(а):Source of the post
Замена для понижения порядка уравнения
, тогда и т.д.

Спасибо... :yes: :yes:
Похоже я тормознула тут , точно ведь в уравнении то х отсутсвует

Evaf · Сообщение **Evaf** » 03 май 2010, 19:36

У меня очередные кошмары на улице вязов..
даже не знаю c какой стороны к нему подступиться
уравнение , не разрешенное относительно производной
если можно , подбросьте идею c чего начать
$$x(y')^2-yy'-y+1=0$$

СергейП

Evaf писал(а):Source of the post У меня очередные кошмары на улице вязов..
даже не знаю c какой стороны к нему подступиться
уравнение , не разрешенное относительно производной
если можно , подбросьте идею c чего начать

Для начала нужно прочитать про уравнение Лагранжа.

Evaf · Сообщение **Evaf** » 04 май 2010, 12:54

Спасио, вечером попробую

Evaf · Сообщение **Evaf** » 04 май 2010, 17:30

Вот что получилось . Начало.

$x(y')^2-yy'-y'+1=0 \\ x(y')^2+1=y(y'+1)\\y=\frac {x(y')^2} {y'+1}+\frac {1} {y'+1}$
Положим
$$y'=p$$

имеем

$y=\frac {x(p)^2} {p+1}+\frac {1} {p+1}$

Дифференцируем по х
$p=\frac {p^2} {p+1}+x*\frac {p^2+2p} {(p+1)^2}*p'_x-\frac {1} {(p+1)^2}*p'_x\\ p-\frac {p^2} {p+1}=(x*\frac {p^2+2p} {(p+1)^2}-\frac {1} {(p+1)^2})*p'_x\\ \frac {1} {p+1}=(x*\frac {p^2+2p} {(p+1)^2}-\frac {1} {(p+1)^2})*p'_x\\ \frac {1} {p+1}*\frac {dx} {dp}=x*\frac {p^2+2p} {(p+1)^2}-\frac {1} {(p+1)^2}\\\frac {1} {p+1}*\frac {dx} {dp}-x*\frac {p^2+2p} {(p+1)^2}=-\frac {1} {(p+1)^2}\\$

Решаем линейное однородное уравнение

$\frac {1} {p+1}*\frac {dx} {dp}-x*\frac {p^2+2p} {(p+1)^2}=0\\\frac {dx} {x}=\frac {p^2+2p} {(p+1)}*dp\\ln(x)=\frac {p^2} {2}+p-ln(p+1)+lnc$

Получилось не легче.. Я что-то не так делаю?

hele · Сообщение **hele** » 04 май 2010, 17:46

Вижу ошибку сразу во второй строчке: нужно вынести за скобку
$$y'$$

, a не

Evaf · Сообщение **Evaf** » 04 май 2010, 17:58

Спасибо.. Точно. Блин глупейшие ошибки.. старею. сейчас перерешаю

Evaf · Сообщение **Evaf** » 04 май 2010, 18:23

СергейП

Можно все упростить, если заметить, что вот это $y=x(y')+\frac {1} {y'}-1$ - уравнение Клеро, частный случай д.у. Лагранжа.
Его общее решение пишем автоматом $y=Cx+\frac {1} {C}-1$ и можно еще найти особое решение.

hele · Сообщение **hele** » 04 май 2010, 18:56

Уже почти все решено.
Приравняем к нулю оба множителя.
$$p'=0$$

и
$x-\frac {1} {p^2}=0$

Подставляя их общие решения в исходное уравнение (для определения двух произвольных констант), получим два решения.
$y=C*x+\frac {1} {C}-1$
и
$y=2*\sqrt{x}-1$

Проверила - оба являются решениями исходного уравнения. Почему во втором не получилась произвольная константа - не знаю. Наверное, потому что для ур. 1-го порядка она должна быть только одна (в первом решении она получилась).
Наверное, это то самое особое решение, o котором говорил Сергей.

yourdomain.com