Формулы для решения Диофантовых уравнений.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 12 янв 2016, 14:00

Продолжение этой системки. Обсуждение там.
http://mathoverflow.net/questions/88220/special-arithmetic-progressions-involving-perfect-squares http://mathoverflow.net/questions/88220/sp...perfect-squares

$\left\{\begin{aligned}&ab+T=x^2\\&ac+T=y^2\\&bc+T=z^2\end{aligned}\right.$

Смысл постой найти такие решения, чтоб числа $$a,b,c$$

составили арифметическую прогрессию. Задачка довольно древняя.
Решение довольно простое - но этих доцентов всё равно не устравиает. Значит так. берём уравнение Пелля.
$$p^2-3s^2=T$$

Вернее его решения. Зная любое следующее можно найти по формуле.

$$p_1=2p_0+3s_0$$

Тогда решения можно сразу записать.

$$a=2s-p$$

Забавно, что и $$x,y,z$$

выглядит как арифметическая прогрессия.

12d3 · Сообщение **12d3** » 20 янв 2016, 10:45

А вот вам задачка, должна быть несложной. Нужно найти хоть какую-нибудь нетривиальную бесконечную серию.
$$x^2+t^2=u^2$$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 20 янв 2016, 13:08

12d3 писал(а):Source of the post А вот вам задачка, должна быть несложной. Нужно найти хоть какую-нибудь нетривиальную бесконечную серию.

Задачка не такая простая.
Неизвестных мало.
Я написал формулы более простых систем. Их ещё Диофант решал. Они все вмести имеют много общего.
http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1046682_1 http://www.artofproblemsolving.com/community/c3046h1046682_1
Когда 3-е уравнения добавляют в одних случаях решений бесконечно много - в других их нет. У третих конечно.
На первый трезвый взгляд записать серию не получиться вроде.

individ.an · Сообщение **individ.an** » 21 янв 2016, 08:48

Народ уравнение решает.
http://math.stackexchange.com/questions/1615106/solving-x2-y2-1-z4-with-x-y-z-1-and-z-x-y http://math.stackexchange.com/questions/16...y-z-1-and-z-x-y

$$x^2+y^2=z^4+1$$

Я тоже решил туды написать одну простенькую формулу.

$x=(\frac{a^4+1}{2}t+2a)ta^2+1$

$y=\frac{a^8-1}{4}t^2+a(a^4-1)t+a^2$

$z=\frac{a^4+1}{2}t+a$

Если использовать уравнение Пелля. И задать число.

$$p^2-2(t^2+1)s^2=1$$

Сделаем замену.
$$a=2t(p+ts)s$$

Решения запишем так.

$$x=(2a+1)(t^2+1)-1$$

Shadows · Сообщение **Shadows** » 21 янв 2016, 09:49

http://dxdy.ru/post1092838.html#p1092838 http://dxdy.ru/post1092838.html#p1092838

individ.an · Сообщение **individ.an** » 21 янв 2016, 12:13

Shadows писал(а):Source of the post http://dxdy.ru/post1092838.html#p1092838 http://dxdy.ru/post1092838.html#p1092838

Фокус к математике не имеющий отношение.
Они любят такое делать - думая, что всегда так можно делать.
Представили все уравнения разными, а потом они стали в одну системку. До этого общий делитель разный - потом стал одинаковым.
Там вообще то должно быть $$a=b=c$$

Таким способом можно решить так уравнение - которое и решением не будет

Shadows · Сообщение **Shadows** » 21 янв 2016, 13:56

Если

, получится $$y=0$$

, что недопустимо по условии. Я не понял, что тебе не нравится в серии:
$\\x=(p^2-4q^2)(4p^2-q^2)\\ y=(2p^2+q^2)(p^2+2q^2)\\ t=12pq(p^2-q^2)$

individ.an · Сообщение **individ.an** » 21 янв 2016, 14:30

Shadows писал(а):Source of the post Если , получится , что недопустимо по условии. Я не понял, что тебе не нравится в серии:
$\\x=(p^2-4q^2)(4p^2-q^2)\\ y=(2p^2+q^2)(p^2+2q^2)\\ t=12pq(p^2-q^2)$

А остальные переменные как выглядят?
Мне не нравиться сам подход вычисления.
Волевым решением разные уравнения представляются как одна система. Это не математика.
Нельзя говорить заранее как решения будут выглядеть.

12d3 · Сообщение **12d3** » 21 янв 2016, 14:32

individ.an писал(а):Source of the post А остальные переменные как выглядят?

Shadows · Сообщение **Shadows** » 21 янв 2016, 14:36

individ.an писал(а):Source of the post А остальные переменные как выглядят?

Короче, ты ничего не понял из написанного. Только минусы ставиш Ладно: $\\u=4p^2+p^2q^2+4q^2\\ v=2(p^4+7p^2q^2+q^4)\\ w=6(p^4-q^4)$

yourdomain.com